Question

Una compañia de computadoras tiene un presupuesto mensual para publicidad de US$20,000.
Su departamento de marketing estima que si cada mes se gastan x en publicidad en periodicos y y mensuales en publicidad por television, entonces las ventas mensuales estaran dadas por S=80x∧1/4 y∧3/4. Si la utlidad es el 10% de las ventas, menos el costo de la publicidad, determine como asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual.

Answer 1

Gastando US$5,000 en publicidad en periódicos y US$15,000 en publicidad por televisión se maximiza la utilidad mensual de la compañía de computadoras.  

Explicación:  

Los valores máximos y mínimos de una función con restricciones se obtienen usando el método de los multiplicadores de Lagrange.  

El método inicia por la construcción de una función L, compuesta por la suma de la función objetivo, utilidad (U), y el producto de la función restricción, g = 0, por el multiplicador de Lagrange α  

L = U + αg  

En el caso planteado:  

g  =  x  +  y  =  20000

$\bold{U=(0.10)(80)x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{3}{4}} \qquad \qquad g=x+y-20000=0}$  

$\bold{L=8x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{3}{4}}+\alpha(x+y-20000)}$ 

Luego se hallan los extremos de L, los cuales coinciden con los extremos de la función objetivo U, pero con una dimensión menos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de L. Esto es derivar L con respecto a cada una de sus variables e igualar a cero todas ellas. Los puntos que satisfacen ese sistema de ecuaciones son los puntos críticos de L.  

$\left \{ {{L_{x} =2x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{3}{4}}+\alpha=0 }\\ \atop \left\L_{y} =6x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}+\alpha=0 } \atop {L_{\alpha } =x+y-20000=0 }} \right. }\right.$  

La solución del sistema arroja un punto crítico:  

x = 5000  

y = 15000  

Segundo, construimos el Hessiano o determinante formado por derivadas de segundo orden que nos permitirán decidir si el punto crítico es un mínimo, Hessiano negativo, o un máximo, Hessiano positivo.  

$H=\left[\begin{array}{ccc}0&g_{x}&g_{y}\\g_{x}&L_{xx} &L_{xy}\\g_{y}&L_{yx}&L_{yy}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&-\frac{3}{2}x^{-\frac{7}{4}}y^{\frac{3}{4}}&\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{1}{4}}\\1&\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{1}{4}}&-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{5}{4}}\end{array}\right]$  

$\bold{H=3x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{1}{4}}+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{5}{4}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{7}{4}}y^{\frac{3}{4}}}$

Tercero, evaluamos H en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

H(5000, 15000) > 0 (positivo) ⇒ U tiene un máximo en el punto (5000, 15000)  

Conclusión:  

Gastando US$5,000 en publicidad en periódicos y US$15,000 en publicidad por televisión se maximiza la utilidad mensual de la compañía de computadoras.