Question

Determine la gr´afica y describa todos sus elementos de la siguiente figura:
4x^2 + 9y^2 − 32x − 36y + 64 = 0

Answer 1

La gráfica corresponde a una elipse, de centro (4,2), 3 eje mayor y 2 eje menor. Tiene por vértices: (1,2) y (7,2)

 

⭐Explicación paso a paso:

Tenemos como cónica una elipse si se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose.

   

$\frac{(x-h)^{2} }{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2} }{b^{2}}=1$

 

Sea la ecuación:

4x² + 9y² - 32x - 36y + 64 = 0

 

Agrupando:

4x² - 32x + 9y² - 36y = -64

 

Completación de cuadrados:

4 · (x² - 8x) + 9 · (y² - 4y) = -64

4 · (x² - 8x + 16 - 16) + 9 · (y² - 4y + 4 - 4) = -64

4 · (x - 4)² - 64 + 9 · (y - 2)² -36 = -64

4 · (x - 4)² + 9 · (y - 2)² = -64 + 64 + 36

4(x - 4)² + 9(y - 2)² = 36

4(x - 4)²/36 + 9(y - 2)²/36 = 1

(x - 4)²/9 + (y - 2)²/4 = 1

(x - 4)²/3² + (y - 2)²/2² = 1

 

CENTRO

(h,k) = (4,2)

 

• Con a: a = √9 = 3 → Eje mayor
• Con b: b = √4 = 2 → Eje menor

 

Para las coordenadas de los vértices, tenemos que es una elipse que abre hacia los lados (se mantiene fija su coordenada en y).

• Vértice 1: (h + a, k) → (4 + 3, 2) → (7,2)
• Vértice 2: (h - a, k) → (4 - 3, 2) → (1,2)