Se quiere elaborar un canal a partir de una gran tira de hojalata que tiene 6 p???????????? de ancho, doblándola hacia arriba cierta medida angular y teniendo 2 p???????????? en cada lado, tal como se muestra en la figura. calcule cuál sería la medida angular que maximizaría el área de la sección transversal, y por lo tanto, el flujo del canal?
Respuestas
Sea Ф el ángulo del ala con respecto a la base.
Se forma una sección trapecial.
Base menor: b = 2
Base mayor: B = 2 + 2 . 2 cosФ = 2 + 4 cosФ
Altura h = 2 senФ
Superficie = (B + b) h/2
S = (2 + 4 cosФ + 2) . 2 senФ / 2
S = 4 senФ + 4 senФ cosФ = 4 senФ (1 + cosФ)
Una función tiene un máximo en los puntos de primera derivada nula.
Derivamos S respecto de Ф
S' = 4 [cosФ + cos²Ф - sen²Ф]
sen²Ф = 1 - cos²Ф
S' = 4 [cosФ + 2 cos²Ф - 1]
Igualamos a cero: (el 4 no interviene)
2 cos²Ф + cosФ - 1 = 0
Ecuación de segundo grado en cosФ
Resulta cosФ = 1/2. La otra solución se desecha por ser negativa.
Por lo tanto Ф = 1,047 rad = 60°
El valor máximo es:
S = 4 sen60° (1 + cos60°) ≅ 5,2 pulg²
Adjunto gráfico con el valor máximo. El eje horizontal está expresado en radianes.
Saludos Herminio.
