Question

Usted cuenta con silicio, oro y hierro. Se le pide que: a) Calcule cuál de los materiales mencionados presenta menor resistividad a una temperatura de 500ºC . b) A partir de lo anterior, determine cuál será la resistencia que presenta el material con menor resistividad, si la longitud del conductor es de 50 cm. y tiene una sección transversal circular de 2 mm. de diámetro. Para realizarlo considere la resistividad calculada y las tablas que presentan los coeficientes de temperatura y resistividad de los distintos materiales.

Answer 1

De estos tres materiales el que presenta menor resistividad a 500°C es el oro, con $\rho=5,97x10^{-8}\Omega m$, si con este material construimos un alambre con las dimensiones propuestas, su resistencia será de 9,5 mΩ.

Explicación:

a) La temperatura modifica la resistividad de los materiales conductores según la siguiente relación:

$\rho=\rho_0(1+\alpha \Delta T)$

Donde es α el coeficiente de temperatura para la resistividad ρ, de las tablas de resistividad podemos obtener los valores para el silicio, para el oro y para el hierro.

$\rho_{Si}=640\Omega m\\\rho_{Au}=2,27x10^{-8}\Omega m\\\rho_{Fe}=9,98x10^{-8}\Omega m$

Y también los valores del coeficiente térmico de la resistividad:

$\alpha_{Si}=-7,5x10^{-2}\°C^{-1}\\\alpha_{Au}=3,4x10^{-3}\°C^{-1}\\\alpha_{Fe}=5x10^{-3}\°C^{-1}$

Podemos ver que para el silicio el coeficiente térmico es negativo, esto debido a que en materiales semiconductores la resistividad disminuye con la temperatura debido a que cuando aumenta la temperatura aumenta la concentración de portadores libres en el material. Las resistividades a 500°C -siendo que los valores tabulados arriba son para 20°C- son:

$\Delta T=500\°C-20\°C=480\°C\\\rho_{Si}=\rho_{0}(1+\alpha_{Si}\Delta T)=640\Omega m(1+(-7,5x10^{-2}).480)=-22400\Omega m\\\rho_{Au}=\rho_{0}(1+\alpha_{Au}\Delta T)=2,27x10^{-8}\Omega m(1+(3,4x10^{-3}).480)=5,97x10^{-8}\Omega m\\\rho_{Fe}=\rho_{0}(1+\alpha_{Fe}\Delta T)=9,98x10^{-8}\Omega m(1+(5x10^{-3}).480)=33,9x10^{-8}\Omega m$

Vemos que el resultado para el silicio al ser negativo no es válido, esto es porque esta ecuación no es válida para materiales semiconductores, se utiliza esta otra:

$\frac{1}{\rho}=q(\mu_n.n_i+\mu_p.n_i)$

Donde es $\mu_n~y~\mu_p$ las movilidades para los electrones y las lagunas respectivamente, q la unidad de carga elemental y 'ni' las concentraciones intrínsecas. A 500°C tenemos:

$n_i=2,5x10^{17}cm^{-3}\\\mu_n=115\frac{cm^2}{Vs}\\\mu_p=41\frac{cm^2}{Vs}$

Reemplazando:

$\frac{1}{\rho}=1,6x10^{-19}(115.2,5x10^{16}+41.2,5x10^{16})=\\\\\rho(500\°C)=1,6\Omega cm=0,016\Omega m$

Concluyendo que la menor resistividad a 500°C corresponde al oro.

b) Entonces pues, si con el oro hacemos un alambre de 50 centímetros de largo con una sección circular de 2 milímetros de diámetro tenemos:

$R=\rho\frac{l}{s}\\\\\rho=5,97x10^{-8}\Omega m\\l=0,5m\\s=\pi.(0,001m)^2=3,14x10^{-6}m^2\\\\R=5,97x10^{-8}\frac{0,5m}{3,14x10^{-6}}=0,0095\Omega=9,5m\Omega$