Question

Ayuda con este problema paso a paso por favor

Answer 1

La solución del sistema de ecuaciones es:

$\bold{y~=~64 \qquad\wedge\qquad x~=~\frac{1}{8}}$

$\bold{y~=~\frac{1}{4}\quad\wedge\quad x~=~\frac{1}{2}}$

Explicación paso a paso:  

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones  

$\bold{\left \{ {{ \log_{4} (xy)~+~3\frac{\log_{4} (x)}{\log_{4} (y)}~=~0} \atop {\log_{4} (\frac{x}{y})~-~\log_{4} (x)\log_{4} (y)~=~0}} \right.}$

Para ello aplicaremos el método de igualación:  

1.- Por medio de operaciones y propiedades de logaritmo, despejamos el logaritmo de una variable en función del logaritmo de la otra, en ambas ecuaciones:  

Primera ecuación

$\log_{4} (xy)~+~3\frac{\log_{4} (x)}{\log_{4} (y)}~=~0\quad\Rightarrow\quad \log_{4} (x)~+~\log_{4} (y)~+~3\frac{\log_{4} (x)}{\log_{4} (y)}~=~0\quad\Rightarrow$

$\log_{4} (x)~+~3\frac{\log_{4} (x)}{\log_{4} (y)}~=~-\log_{4} (y)\quad\Rightarrow\quad \log_{4} (x)[1~+~\frac{3}{\log_{4} (y)}]~=~-\log_{4} (y)\quad\Rightarrow$

$\bold{\log_{4} (x)~=~\frac{-\log_{4} (y)}{[1~+~\frac{3}{\log_{4} (y)}]}}$

Segunda ecuación

$\log_{4} (\frac{x}{y})~-~\log_{4} (x)\log_{4} (y)~=~0\quad\Rightarrow\quad \log_{4} (x)~-~\log_{4} (y)~-~\log_{4} (x)\log_{4} (y)~=~0\quad\Rightarrow$

$\log_{4} (x)~-~\log_{4} (x)\log_{4} (y)~=~\log_{4} (y)\quad\Rightarrow\quad \log_{4} (x)[1~-~\log_{4} (y)]~=~\log_{4} (y)\quad\Rightarrow$

$\bold{\log_{4} (x)~=~\frac{\log_{4} (y)}{[1~-~\log_{4} (y)]}}$

2.- Se igualan las expresiones obtenidas en 1. y se despeja el logaritmo incógnita:  

$\frac{-\log_{4} (y)}{[1~+~\frac{3}{\log_{4} (y)}]}~=~\frac{\log_{4} (y)}{[1~-~\log_{4} (y)]}\quad\Rightarrow\quad-\log_{4} (y)~[1~-~\log_{4} (y)]~=~\log_{4} (y)~[1~+~\frac{3}{\log_{4} (y)}]\quad\Rightarrow$

$-[1~-~\log_{4} (y)]~=~1~+~\frac{3}{\log_{4} (y)} \quad\Rightarrow\quad-\log_{4} (y)~[1~-~\log_{4} (y)]~=~\log_{4} (y)~+~3\quad\Rightarrow$

$-\log_{4} (y)~+~[\log_{4} (y)]^{2}~=~\log_{4} (y)~+~3\quad\Rightarrow\quad[\log_{4} (y)]^{2}~-~2\log_{4} (y)~-~3~=~0\quad\Rightarrow$

3.- De aquí:  

$[\log_{4} (y)]^{2}~-~2\log_{4} (y)~-~3~=~0\quad\Rightarrow\quad[\log_{4} (y)~-~3][\log_{4} (y)~+~1]~=~0\quad\Rightarrow$

$\left \{ {{\log_{4} (y)~=~3} \atop {\log_{4} (y)~=~-1}} \right.\quad\Rightarrow\quad\left \{ {{\log_{4} (x)~=~-\frac{3}{2}} \atop {\log_{4} (x)~=~-\frac{1}{2}}}\right.$

4. Los valores de x y que resuelven el sistema serán:  

$Si\quad\log_{4} (y)~=~3} \quad\wedge\quad\log_{4} (x)~=~-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad4^{\log_{4} (y)}~=~4^{3}} \quad\wedge\quad4^{\log_{4} (x)}~=~4^{-\frac{3}{2}}\quad\Rightarrow$

$\bold{y~=~64 \qquad\wedge\qquad x~=~\frac{1}{8}}$

$Si\quad\log_{4} (y)~=~-1\quad\wedge\quad\log_{4} (x)~=~-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad4^{\log_{4} (y)}~=~4^{-1}\quad\wedge\quad4^{\log_{4} (x)}~=~4^{-\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow$

$\bold{y~=~\frac{1}{4}\quad\wedge\quad x~=~\frac{1}{2}}$