Question

ayuda como puedo hacer el siguiente sistema de ecuaciones paso a paso

$\left \{ {{\sqrt[xy]{a^{3x-2y} }=1 } \atop {\sqrt[y]{a} }= \sqrt[6x]{a^{5x-6} } } \right.$

Answer 1

• Los valores que cumplen la igualdad son $y=\frac{3x}{2}$ y $y=\frac{6x}{5x-6}$

Para el primer ejercicio se tiene

$\sqrt[xy]{a^{3x-2y}}=1$

Primero se eleva a la x y a la y ambos lados , dando como resultado

$a^{3x-2y}=1^{xy}$

Usando el logaritmo, tenemos

$\ln{a^{3x-2y}}=\ln{1^{xy}}$

Dando ahora

$(3x-2y)\ln{a}=xy\ln{1}$

Sabiendo que el logaritmo de 1 es cero, nos da

$3x\ln{a}-2y\ln{a}=0$

Despejando la y, y simplificando el logaritmo de a, tenemos

$3x=2y$

Dando como resultado que y es

$y=\frac{3x}{2}$

Para el segundo ejercicio se tiene

$\sqrt[y]{a}=\sqrt[6x]{a^{5x-6}}$

Se eleva de ambos lados a cada uno de los argumentos de las raíces, como sigue

$((\sqrt[y]{a})^{y})^{6x}=((\sqrt[6x]{a^{5x-6}})^{y})^{6x}$

Teniendo ahora

$a^{6x}=(a^{5x-6})^{y}$

Usando la propiedad del logaritmo, da

$\ln{a^{6x}}=\ln{a^{(5x-6)y}}$

Que da

$6x\ln{a}=(5x-6)y\ln{a}$

Simplificando el logaritmo de a, da

$6x=(5x-6)y$

Despejando y, tenemos

$y=\frac{6x}{5x-6}$