Question

Varias fuerzas actúan sobre un objeto.una de ellas es F=axyi una fuerza en la dirección x cuya magnitud depende de la posición del objeto con a= 3.00 n/m^2. Calcule el trabajo realizado por esta fuerza sobre el objeto con los siguientes desplazamientos del objeto: a) el objeto parte del punto x=0, y=4.00 m Y se mueve paralelamente al eje x Hasta el punto x=2.00 m, y=4.00m.

B)el objeto parte desde el punto x=2.00m, y=0 y se mueve en la dirección y hasta el punto x=2.00m y y=4.00m.

C) el objeto parte del orígen y se mueve sobre la línea y=2x hasta el punto x=2.00 m, y=4.00m

Answer 1

El trabajo efectuado por la fuerza planteada es en el caso (a) de 24J, en el caso (b) de 0J y en el caso (c) de 16J.

Explicación:

En este ejercicio se aplica para cada caso la definición de trabajo efectuado por una fuerza entre dos puntos a y b:

$W_{ab}=\int\limits^b_a {F.} \, dr$

Sabemos que la fuerza actúa en la dirección del eje x, por lo que tenemos:

a) Si el objeto se mueve paralelo al eje x con y=4 constante mientras x varía de 0 a 2 tenemos:

$F=3.x.4=12x\\\\W=\int\limits^2_0 {12x} \, dx=[\frac{12x^2}{2}]^2_0=6.2^2-6.0^2=24J$

b) En este caso el objeto se mueve paralelo al eje 'y' por lo que el trabajo será a lo largo de dicho eje desde y=0 hasta y=4m. Tenemos:

$F=3.2.y=6y\\\\W=\int\limits^a_b {6y} \, dy$

Pero no debemos olvidar que la fuerza actúa en la dirección del eje x, el vector dy es perpendicular al eje x por lo que el producto escalar entre la fuerza y el vector dy es 0. Luego queda:

$W=0$

c) La definición de trabajo se puede escribir en forma polar como:

$W=\int\limits^b_a {F.r} \, dr$

donde r es un versor paralelo a la dirección del movimiento, desglosando el producto escalar queda:

$W=\int\limits^b_a {F.cos(\theta)} \, dr$

Luego como dr es la dirección de la recta 2x queda:

$dr.cos(\theta)=dx$

Y la integral queda:

$W=\int\limits^b_a {F.} \, dx$

La fuerza aplicada ahora es:

$F=3xy=3x.2x=6x^2$

Y el trabajo:

$W=\int\limits^2_0 {6x^2} \, dx=[6\frac{x^3}{3}]^2_0=2.2^3-2.0^3\\\\W=16J$