Question

Una espiral está formada por semicircunferencias sucesivas cuyos centros se alternan entre los puntos A y B comenzando con el centro A, de radio 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm como se muestra en la figura, ¿Cual es la longitud total, en centímetros de una espiral compuesta de trece semicircunferencias consecutivas? Considere que el perímetro se la circunferencia se calcula con P=2pir donde se representa el radio ​

Answer 1

La longitud total, en centímetros de una espiral compuesta de trece semicircunferencias consecutivas es de 142.94 cm

Primero observamos que los radios de las semicircunferencias aumentan en 0.5 cm y son:

0.5   10   1.5   2.0  

En general podemos inferir que para un radio x podemos calcularlo así:

r ₍ₓ₎= 0.5 * x

Así, el radio x=13 es de 6.5

r ₁₃ = 0.5 * 13

r ₁₃ = 6.5

Es de notar que una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia, entonces para encontrar la longitud de la semicircunferencia podemos hacerlo partiendo de la fórmula de la circunferencia

Perímetro circulo

P = 2 π r

Perímetro semicircunferencia

P = ¹/₂ 2 π r

P = π r

Entonces, la longitud total de la espiral será la suma de los perímetros de cada semicircunferencia

P₁ =  π r₁

P₂ =  π r₂

Pₓ = π rₓ

Si r ₍ₓ₎= 0.5 * x, entonces:

Pₓ = π * 0.5 * x

Así, para 13 semicircunferencias sumamos los perímetros

P₁ = π * 0.5 * 1 = 0.5π

P₂ = π * 0.5 * 2 = π

P₃ = π * 0.5 * 3 = 1.5 π

P₄ = π * 0.5 * 4 = 2 π

P₅ = π * 0.5 * 5 = 2.5π

P₆ = π * 0.5 * 6 = 3π

P₇ = π * 0.5 * 7 = 3.5π

P₈ = π * 0.5 * 8 = 4π

P₉= π * 0.5 * 9 = 4.5π

P₁₀ = π * 0.5 * 10 = 5π

P₁₁ = π * 0.5 *11 = 5.5π

P₁₂ = π * 0.5 * 12 = 6π

P₁₃ = π * 0.5 * 13 = 6.5π

P total = 45.5π

P total = 142.94 cm