Question

ayuda con este problema de ecuaciones logarítmicas y exponenciales paso a paso por favor

Answer 1

La solución del sistema de ecuaciones es:        x  =  ³/₂        ∧        y  =  ¹/₂

Explicación:

$\left \{ {{9^{-1}\sqrt[y]{9^{x}}~-~27\sqrt[x]{27^{y}} =0} \atop {Log(x-1)~-~Log(1-y)=0}} \right$

1.- La ecuación exponencial se expresa en potencias de 3 para obtener una nueva relación igualando los exponentes:

${9^{-1}\sqrt[y]{9^{x}}~-~27\sqrt[x]{27^{y}}=0\quad\Rightarrow\quad{3^{-2}\sqrt[y]{3^{2x}}~-~{3^{3}\sqrt[x]{3^{3y}}=0\quad\Rightarrow$

${3^{-2}\sqrt[y]{3^{2x}}~=~{3^{3}\sqrt[x]{3^{3y}}\quad\Rightarrow\quad{3^{-2}3^{\frac{2x}{y}}~=~{3^{3}3^{\frac{3y}{x}}\quad\Rightarrow$

$3^{\frac{2x}{y}-2}~=~3^{3+\frac{3y}{x}}\quad\Rightarrow\quad\frac{2x}{y}-2~=~3+\frac{3y}{x}\quad\Rightarrow$

$\frac{2x-2y}{y}~=~\frac{3x+3y}{x}\quad\Rightarrow\quad x(2x-2y)~=~y(3x+3y)\quad\Rightarrow$

$3y^{2}~+~5xy~-~2x^{2}~=~0$

2.- De la ecuación logarítmica se obtiene una relación de una variable en función de la otra para sustituir en la ecuación obtenida en 1.-

$Log(x-1)~-~Log(1-y)~=~0\quad\Rightarrow\quad Log(\frac{x-1}{1-y})~=~0\quad\Rightarrow$

$\frac{x-1}{1-y}~^=~1\quad\Rightarrow\quad x-1~=~1-y \quad\Rightarrow\quad \bold{x~=~2~-~y}$

3.- Se sustituye el valor de  x  hallado en 2.- en la ecuación resultante del paso 1.-

$3y^{2}~+~5xy~-~2x^{2}~=~0\quad\Rightarrow\quad 3y^{2}~+~5(2-y)y~-~2(2-y)^{2}~=~0\quad\Rightarrow$

$3y^{2}~+~10y~-~5y^{2}~-~8~+~8y~-~2y^{2}~=~0\quad\Rightarrow\quad -4y^{2}~+~18y~-~8~=~0\quad\Rightarrow$

$2y^{2}~-~9y~+~4~=~0\quad\Rightarrow\quad y~=~\frac{-(-9)~\pm~\sqrt{(-9)^{2}-4(2)(4)} }{2(2)}~=~\frac{9~\pm~\sqrt{49}}{4}\quad\Rightarrow\quad \bold{y~=~4\quad \vee \quad y~=~\frac{1}{2}}$

4.- Teniendo los valores de  y  podemos hallar los valores de  x  correspondientes.

El valor    y  =  4     no es posible, pues    Log(1  -  y)    no está definido; por lo tanto, solo se trabajará con el segundo valor:

$y~=~\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \bold{x~=~2~-~\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x~=~\frac{3}{2}}$

5.- La solución del sistema es:        x  =  ³/₂        ∧        y  =  ¹/₂