Se desea construir un depósito con forma de prisma rectangular de base cuadrada y con una capacidad de 360 m3. Los costes por m2 son los siguientes: 40 € para el fondo, 30 € para las paredes laterales y 60 € para el techo del depósito. Calcula las dimensiones del depósito para que su coste sea el menor posible.
Respuestas
Las dimensiones del depósito para que su coste sea el menor posible es:
largo y ancho = 6 metros
alto = 10 metros
Explicación paso a paso:
Datos;
un depósito, con forma de prisma rectangular de base cuadrada
capacidad de 360 m³
costes por m²:
40 € el fondo
30 € las paredes laterales
60 € techo del depósito
Al tener la base cuadrada eso quiere decir que todos los lados de la base son iguales;
El volumen de un prisma es;
V = largo × ancho × alto
siendo;
largo = ancho
entonces;
V = x · x · y
V = x² · y
(1) 360 = x² · y
Coste;
Coste = 40 x² + 30(4)xy + 60 x²
Coste = 40 x² + 120 xy + 60 x²
(2) Coste = 100 x² + 120 xy
Despejas y de 1;
y = 360/x²
Sustituir en 2;
Coste = 100 x² + 120 x(360/x²)
Coste = 100 x² + 43200/x
Aplicar derivada;
Coste' = d/dx(100x² + 43200/x)
Coste' = 200x - 43200/x²
Igualar a cero;
200 x = 43200/x²
x²(200 x) = 43200
200 x³ = 43200
x³ = 43200/200
Aplicar raíz cubica;
x = 43200/200
x = ∛216
x = 6 m
Sustituir es y;
y = 360/(6)²
y = 10 m