Una cuerda de la parábola y2 - 4x = 0 es un segmento de la recta x-2y +3=0,
Cual es su longitud?
a- 7,46
b- 8,94
c- 10,32
d- 12,44
Respuestas
Respuesta:
8.94.
Explicación paso a paso:
Para hallar los extremos de la cuerda, que son los puntos de intersección de la recta con la parábola, resolvemos el sistema formado por las dos funciones. De la recta obtenemos que x = 2y-3, valor de x que sustituido en la ecuación de la parábola queda,
y²- 4(2y-3) = 0
y²- 8y+12 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
D = b² - 4ac = 64 – 48 = 16
y = (8 ± √16)/2 = 4 ± 2
Y las ordenadas de los puntos de intersección son 2 y 6. Para y = 2, x = 2y-3 = 1 luego el punto de intersección es (1,2). Para y = 6, x = 2y-3 = 9 luego el punto de intersección es (9,6)
Y la distancia entre ambos es
d = √((9-1)²+ (6-2)²) = √(64+16) = √80 ≈ 8.94.
Respuesta:
B.
La longitud de la cuerda que se forma al interceptar la parábola y²- 4x = 0 con la recta x -2y +3 = 0 es de 8.94 unidades de longitud.
Explicación paso a paso:
Inicialmente debemos buscar la intersección entre la recta y la parábola, para ello igualamos las funciones, tal que:
y² - 4x = 0 → x = y²/4
x -2y + 3 = 0 → x = 2y - 3
Igualamos y tenemos que:
y²/4 = 2y -3
y²/4 -2y + 3 = 0
Aplicamos resolvente tenemos que:
y₁ = 6
y₂ = 2
Buscamos el valor de la coordenada -x-:
x₁ = 6²/4 = 9
x₂ = 2²/4 = 1
Por tanto, la recta corta a la parábola en los puntos A(9,6) y B(1,2).
Ahora, buscamos la distancia entre estos puntos:
d = √[(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²]
d = √[(9-1)² + (6-2)²]
d = 8.94
Por tanto, la longitud de la cuerda que se forma al interceptar la parábola y²- 4x = 0 con la recta x -2y +3 = 0 es de 8.94 unidades de longitud.
