Question

vaya problema perturbador ​

Answer 1

El perímetro del área sombreada es $P=\frac{16}{3}(5\pi+9)cm$ siendo (B) la respuesta correcta.

Explicación paso a paso:

Para hallar el perímetro de la figura sombreada vamos a tomar en cuenta que los segmentos AD y BC son parte de él, y cada uno de ellos mide el equivalente a 4R, siendo R el radio de las tres circunferencias.

Ahora bien, en la imagen adjunta tenemos que los arcos marcados en verde se complementan con los arcos marcados en azul, con lo cual las tres circunferencias completas terminan siendo parte del perímetro.

Luego los segmentos A-A', B-B', C-C' y D-D', que equivalen a un doceavo de circunferencia cada uno, debido a que el ángulo que con la horizontal forma el segmento que une al punto medio de AB con el punto B' es de 60°, lo que da un desplazamiento angular entre B y B' de 30°, lo mismo pasa con A-A', C-C' y D-D'.

Nos quedan las cuatro cuerdas de la circunferencia central cuya longitud es igual a R al unir el centro de cada una de las circunferencias de los costados con las circunferencias en sí. Queda:

$P=BC+AD+4R+3(2\pi R)+4(\frac{2\pi R}{12})=4R+4R+4R+6\pi R+\frac{2}{3}\pi R\\\\P=12R+\frac{20}{3}\pi R$

Como es R=4cm nos queda:

$P=12.4cm+\frac{20}{3}\pi .4cm=48cm+\frac{80}{3}\pi cm\\P=\frac{16}{3}(5\pi+9)$

Con lo que la respuesta B es la correcta.