Question

PROBLEMA SUPER TOP -TRANCA
CALCULE EL EXPONENTE FINAL DE X
$\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}$
a)1
b)2
c)3
d)1/2
e)1/4

Answer 1

Encontremos un patrón

Numero de equis

1: 1/2

2: 2 + (1/2)(1/3) =

3: 3 + (13/6)(1/4) = 3 + 2/4 + 1/4!

4: 4 + (85/24)(1/5) = 4 + 3/5 + 2/(5*4) + 1/5!

5: 5 + (4*5!)/6! + (3*4!)/6! + (2*3!)/6! + 1/6! = (5*6!+4*5!+3*4!+2*3!+1)/6!

Para n: $\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^n k(k+1)! - \dfrac{2}{n!}$

La parte de la sumatoria diverge al infinito

Answer 2

Respuesta:

1

Explicación:

Tenemos la siguiente expresión:

$\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}$

Recordar:

$\sqrt[m]{ {x}^{n} } = {x}^{ \frac{n}{m} }$

$\sqrt[a]{ \sqrt[b]{ {x}^{c} } } = {x}^{ \frac{c}{ab} }$

Entonces la expresión lo podemos poner como:

$\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}$

$X^{ \frac{1}{2} }X^{ \frac{2}{2 \cdot3}}X^{ \frac{3}{2 \cdot3 \cdot4} }X^{ \frac{4}{2 \cdot3 \cdot4\cdot5} }.....$

$X^{ \frac{1}{2!} }X^{ \frac{2}{3!}}X^{ \frac{3}{4!} }X^{ \frac{4}{5!} }.....$

Recordar:

${x}^{a} \cdot{x}^{b} = {x}^{ab}$

Entonces la expresión queda así:

$X^{ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}....}$

El exponerte final de "x" es:

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}....$

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}.... + \frac{n}{(n + 1)!}$

Aplicar sumatoria:

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{n}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{n + 1 - 1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )- 1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )}{(n + 1)!} - \frac{1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )}{n!(n + 1)} - \frac{1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n = 1}^{ \infty }\frac{1}{(n + 1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n = 1 +1}^{ \infty }\frac{1}{(n + 1 -1)!}$

$\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n =2}^{ \infty }\frac{1}{(n)!}$

$(\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =2}^{ \infty }\frac{1}{(n)!})$

Recordar:

$\sum_{n =k}^{ \infty }a_{n} = \sum_{n =0}^{ \infty }a_{n} - \sum_{n =0}^{k - 1}a_{n}$

Entonces nuestra expresión quedaría así:

$(\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} -\sum_{n =0}^{1 - 1} \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =0}^{ \infty }\frac{1}{(n)!} - \sum_{n =0}^{2 - 1}\frac{1}{(n)!})$

$(\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} -\sum_{n =0}^{0} \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =0}^{ \infty }\frac{1}{(n)!} - \sum_{n =0}^{1}\frac{1}{(n)!})$

Recordar que:

$\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} = e$

Entonces nuestra expresión quedaría así:

$(e-( \frac{1}{0!}) ) -(e- ( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}))$

Recordar que:

0! = 1

1! = 1

Entonces nuestra expresión quedaría así:

$(e-( \frac{1}{1}) ) -(e- ( \frac{1}{1} + \frac{1}{1}))$

$(e-( 1) ) -(e- (1 + 1))$

$(e-( 1) ) -(e- (2))$

$(e-1 ) -(e-2)$

$(e)-(1) -(e)-( - 2)$

$e-1 - e + 2$

Ordenar:

$e - e + 2 - 1$

$0 + 2 - 1$

$2 - 1$

$1$