Question

Sea el predicado p(x): lx - 1l / x es menor que 1 : RE = lR. Entonces su conjunto solución Ap(x) es el intervalo:
A) [0, 1/2)c
B) [0,1/2]
C) (-∞,0]
D) [ 1/2,∞)
E) (0,1/2)





Libro Rojo. Pág 174 Cap 7 Inecuaciones, Miscelaneas ejercicio 7.

Answer 1

El conjunto solución es el intervalo:   x  ∈ (¹/₂; +∞)

Explicación paso a paso:

En principio resolvamos el valor absoluto:

$\frac{|x~-~1|}{x}~<~1\quad\Rightarrow\quad|x~-~1|~<~x$

Aplicando propiedades de valor absoluto:

$-x~<~x~-~1~<~x\quad\Rightarrow\quad\frac{-x}{x}~<~\frac{x~-~1}{x}~<~\frac{x}{x}\quad\Rightarrow$

$-1~<~\frac{x~-~1}{x}~<~1\quad\Rightarrow\quad\left \{ {{-1~<~\frac{x~-~1}{x}} \atop {\frac{x~-~1}{x}~<~1}} \right.$

Se resuelve cada una de las inecuaciones en el sistema y la solución final es la intersección de ellas:

Primera inecuación (PI):

$-1~<~\frac{x~-~1}{x}\quad\Rightarrow\quad\frac{x~-~1}{x}~>~-1\quad\Rightarrow\quad\frac{x~-~1}{x}~+~1~>~0\quad\Rightarrow$

$\frac{x~-~1~+~x}{x}~>~0\quad\Rightarrow\quad\frac{2x~-~1}{x}~>~0$

Probando signo en la recta real a partir de los valores:    x  =  ¹/₂    ∧    x  =  0

-∞ (+++++++++++++++++++++) 0 (----------) ¹/₂ (+++++++++++++++++++++) +∞

Solución PI  =  x  ∈  (-∞; 0) ∪ (¹/₂; +∞)

Segunda inecuación (SI):

$\frac{x~-~1}{x}~<~1\quad\Rightarrow\quad\frac{x~-~1}{x}~-~1~<~0\quad\Rightarrow$

$\frac{x~-~1~-~x}{x}~<~0\quad\Rightarrow\quad\frac{-~1}{x}~<~0$

Probando signo en la recta real a partir del valor:    x  =  0

-∞ (++++++++++++++++++++++++) 0 (--------------------------------------------) +∞

Solución SI  =  x  ∈  (0; +∞)

La solución de la inecuación inicial es la intersección de PI y SI:

Sol  =  PI ∩ SI  =   [(-∞; 0) ∪ (¹/₂; +∞)] ∩ (0; +∞)      ⇒

Sol  =      x  ∈ (¹/₂; +∞)