un carpintero puede construir estantes para libros un costo de 60 soles cada uno si los vende a X soles la unidad se estima que puede vender 480 -2x estantes al año¿ cual sera la mayor ganancia anual(en soles) de carpintero?
Respuestas
Respuesta: 16.200 soles
Explicación paso a paso:
La función que determina las unidades vendidas es v = 480 -2X
Los ingresos por ventas se obtienen por el producto del precio/unidad por las unidades vendidas : V = Xsoles(480 -2X)
Y el costo de esas unidades vendidas sería C = 60soles(480 -2X)
Entonces el beneficio será : Ventas - Costo
Beneficio = Xsoles(480 -2X) - 60soles(480 -2X) = (X-60)(480 -2X)soles
Esta función tiene dos puntos donde el beneficio es cero.
Cuando X = 60 y cuando X = 240 , esto significa que vendiendo menos de 60 unidades o más de 240 unidades habría pérdidas, lo que se puede visualizar en el gráfico que acompaña la respuesta.
Beneficio = 480X -28.800 -2X² +120X = -2X² + 600X -28.800 soles
Si queremos calcular el máximo beneficio tenemos que igualar a cero la primera derivada de la función que determina el beneficio en función de las unidades vendidas. VER GRÁFICO
Beneficio = 2X² + 600X -28.800 soles
Derivamos esta función y la igualamos a cero
Beneficio' = -4X +600 = 0
-4X = -600
X = -600/-4 = 150 unidades vendidas para un beneficio máximo.
También lo vemos en el gráfico de la función: en el punto (150, 16200) la tangente a la curva es horizontal porque hay un máximo de beneficios.
Aplicando estas unidades vendidas a la función que determina el beneficio, comprobamos el beneficio máximo que ya aparece en ese punto de la curva:
Beneficio = -2X² + 600X -28.800
Beneficio = -2(150)² + 600·150 -28.800
Beneficio = (-45.000 + 90.000 - 28.800)soles = 16.200 soles
Respuesta: 16.200 soles
Michael Spymore
Podemos decir que el carpintero obtendrá mayor ganancias al realizar 150 estantes, esta ganancia máxima sería de 16200 soles.
Explicación paso a paso:
La ganancia del carpintero no es más que la utilidad, esta se define como:
Utilidad = ingreso - costo
Definimos cada variable, tal que:
- I = x·(480 - 2x) = 480x - 2x²
- C = 60·(480 - 2x) = 28800 - 120x
Sustituimos y tenemos que:
U(x) = 48x - 2x² - (28800 - 120x)
U(x) = -2x² + 600x - 28800
Para buscar la ganancia máxima utilizaremos definición de derivada para encontrar el punto máximo:
U'(x) = -4x + 600
-4x + 600 = 0
x = 150 estantes
Buscamos la utilidad para una cantidad de 150 estantes:
U(600) = -2(150)² + 600·(150) - 28800
U(600) = 16200 soles