Question

(Sugerencia: Mostrar que F conservativo y encontrar un potencial f tal que ∇f=F ). Si C es el segmento de recta que comienza en el punto (2,1) y termina en (4,3) , y F es el campo vectorial F(x,y)=(12xy+4y2−3)i+(6x2+8xy−7)j , entonces el valor de la integral de línea ∫CF⋅dr está dado por:(Sugerencia: Mostrar que F conservativo y encontrar un potencial f tal que ∇f=F ). Si C es el segmento de recta que comienza en el punto (2,1) y termina en (4,3) , y F es el campo vectorial F(x,y)=(12xy+4y2−3)i+(6x2+8xy−7)j , entonces el valor de la integral de línea ∫CF⋅dr está dado por:

Answer 1

La circulación del campo vectorial propuesto a lo largo del segmento de recta que une P(2,1) con Q(4,3) es 428.

Explicación paso a paso:

Para calcular la circulación de un campo vectorial F a lo largo de una curva C la expresión general es.

$\phi=\int\limits^{}_{C} {F(x,y)} \, dl \\\\C=r(t)$

Como se trata de un segmento de recta podemos obtener sus ecuaciones paramétricas, tomango P(2,1) como uno de sus puntos y el segmento que une P(2,1) con Q(4,3) como vector director:

$v=(4-2,3-1)=(2,2)\\\\x(t)=2+2t\\y(t)=1+2t\\\\C:(x,y)=r(t)=(2+2t;1+2t)$

Donde el parámetro t varía entre 0 y 1 para darnos los puntos de interés. Ahora la expresión general la podemos escribir como:

$\phi=\int\limits^{t_b}_{t_a} {F(r(t)).r'(t)} \, dt$

Tenemos que:

$r(t)=(2+2t;1+2t)\\r'(t)=(2;2)\\\\F(r(t))=(12xy+4y^2-3;6x^2+8xy-7)=\\F(r(t))=(12(2+2t)(1+2t)+4(1+2t)^2-3;6(2+2t)^2+8(2+2t)(1+2t)-7)$

Desarrollando queda:

$F(r(t))=(12(2+6t+4t^2)+4(1+4t+4t^2)-3;\\;6(4+16t+4t^2)+8(2+6t+4t^2)-7)\\F(r(t))=(24+72t+48t^2+4+16t+16t^2-3;\\;24+96t+24t^2+16+48t+32t^2-7)\\\\F(r(t))=(25+88t+64t^2;33+144t+56t^2)$

Con lo que la integral de línea queda:

$\phi=\int\limits^{1}_{0} {(25+88t+64t^2;33+144t+56t^2).(2,2)} \, dt\\\\\phi=\int\limits^{1}_{0} {(50+176t+128t^2+66+288t+112t^2)} \, dt\\\\\phi=\int\limits^{1}_{0} {(116+464t+240t^2)} \, dt=[116t+232t^2+80t^3]^{1}_0\\\\\phi=428$