Hallor la evacion de la circo ferencia
de radio 5 Ir y que pasa por la
intersecciones de las ciReferencias
x² + y² + 2x-6y -16=0 y x² + y² - 6x + 2y = 0
(Dos soluciones)
Respuestas
Necesitamos el centro de la circunferencia.
Pertenece a la mediatriz del segmento que definen los puntos comunes a los dos circunferencias.
La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos. Es perpendicular al segmento por su punto medio.
Buscamos los puntos de intersección resolviendo el sistema formado por las dos circunferencias. Las igualamos:
x² + y² + 2 x - 6 y - 16 = x² + y² - 6 x + 2 y = 0
Se cancelan los términos cuadráticos. Resulta la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección. (llamada eje radical)
Esta recta es y = x - 2. Reemplazamos en una de las circunferencias:
x² + (x - 2)² - 6 x + 2 (x - 2) = 0; quitamos los paréntesis:
Resulta 2 x² - 8 x = 0
Las raíces son x = 0, x = 4
Reemplazamos en la recta:
y = - 2, y = 2
Los puntos de intersección: P (0, - 2); P' (4, 2)
El punto medio de entre éstos es M (2, 0)
La pendiente que forman los dos puntos es m = (- 2 - 2) / (0 - 4) = 1
La pendiente de la mediatriz es m' = -1/m = - 1
Luego al mediatriz es y - 0 = - 1 (x - 2); y = - x + 2
a) Distancia uno de los puntos al centro de la circunferencia = 5
Sean h y k las coordenadas del centro. Se usa el punto P
5² = (4 - h)² + (2 - k)²; k = - h + 2 (el centro está en la mediatriz)
25 = (4 - h)² + [(2 - (- h + 2)]²; quitamos paréntesis:
16 - 8 h + 2 h² = 25
2 h² - 16 h - 9 = 0; ecuación de segundo grado en h
Sus raíces son: h ≅ 4,91; h ≅ - 0,92
Reemplazado en la mediatriz: k = - 2,92; k = 2,92
Los dos centros son: C (4,91; - 2,92); C' (- 0,92; 2,92)
Las ecuaciones de las dos circunferencias son:
(x - 4,91)² + (y + 2,92)² = 25
(x + 0,92)² + (y - 2,92)² = 25
Adjunto dibujo con todos los elementos. Dos de las circunferencias están casi superpuestas. Las de la respuestas tienen marcados sus centros.
Mateo.
