Question

Ecuacion diferencial respuesta de Y'=y+1/x+y+1

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed)    $\bold{Y'=\frac{y+1}{x+y+1}}$    es una ed exacta cuya solución general es:     $\bold{xy+x+\frac{y^{2}}{2}+y=C}$

Explicación paso a paso:

Vamos a reescribir la ed:

$Y'=\frac{y+1}{x+y+1}\quad\Rightarrow\quad (x+y+1)dy+(y+1)dx=0$

1.- En la ed    $(y+1)dx+(x+y+1)dy =0$     llamamos

$M_{(x, y)}=y+1$

$N_{(x, y)}=x+y+1$

2.- Calculamos las derivadas parciales de M con respecto a     y    y de N con respecto a     x,     con la finalidad de compararlas y verificar si se trata de una ed exacta, en caso de ser iguales.

∂M/∂y  =  1        =        ∂N/∂x  =  1

3.- Como las derivadas en 2.- son iguales, la ed es exacta. Vamos a integrar la ed con respecto a la variable x:

$\mu=\int\ (y+1)dx=xy+x+\psi_{(y)}$

4.- La solución general obtenida en 3.- se deriva con respecto a    y:

∂µ/∂y  =  x  +  dψ/dy  =  N

5.- La derivada obtenida en 4.- se compara con la expresión    N        y se obtiene la solución definitiva de la ed:

x + dψ/dy = x + y + 1    ⇒    dψ/dy = y + 1    ⇒    dψ = (y + 1)dy    ⇒

$\int\ d\psi=\int\ (y+1)dy\quad\Rightarrow\quad \psi=\frac{y^{2}}{2}+y+C\quad\Rightarrow$

$\mu=xy+x+\frac{y^{2}}{2}+y+C\qquad\Rightarrow$

$\bold{xy+x+\frac{y^{2}}{2}+y=C}$