Question

En el sistema de la figura, un cuerpo de masa=1kgr parte de la posición A, ubicada en el extremo superior de un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, con velocidad inicial=10m/s. Desde B, en el pie de un plano inclinado, sigue una trayectoria horizontal hasta llegar a la posición C, donde choca con un resorte K=30N/m Entre A y B hay rozamiento de coeficiente µ=0,35. Entre A y C hay
rozamiento de coeficiente µ=0,5. Entre A y C no hay rozamiento.

a)Velocidad en B
b) Energía total en B.
c) Velocidad en C.
d) Energía total en C.
e) Cual sera la máxima compresión del resorte?

Answer 1

Respuesta:

a) 11,8m/s

b)69,62J

c)6,42m/s

d)20,6J

e)1,17m

Explicación:

Punto A: Velocidad en b.

Debemos plantear si se conserva o no la energía, como hay una fuerza de rozamiento y esta no es conservativa nos va quedar lo siguiente

∑W=Emf-Emi

En nuestro caso

∑W=Emb-Ema

W= Trabajo, solo en nuestro caso hay trabajo de la fuerza de rozamiento porque nos queda

$Wfr=Emb-Ema$ (Ecuación 1)

Ahora el trabajo de una fuerza es

$Wfr=Fr*d*cos(\alpha )$

La energía mecánica en B es la sumatoria de todas las energías es decir de la cinética, potencial gravitatoria  y potencial elástica.  En nuestro caso no existirá ni gravitatoria ni potencial  porque la altura es 0 y no hay un resorte por lo que aplicando la formula de la energía cinética (1/2*m*v²) nos queda que.

$Emb=\frac{1}{2}*m*vb^{2}$

La energía mecánica en A es la sumatoria de todas las energías, a igual que en B, sin embargo aquí hay velocidad inicial y altura, pero no un resorte, por lo que habrá energía cinetica y potencial gravitatoria (m*g*h)

queda que

$Ema=\frac{1}{2}*m*va^{2}+m*g*h$

reemplazando todo esto en la ecuación 1 nos queda que.

$fr*d*cos(\alpha )=\frac{1}{2}*m*vb^{2}-(\frac{1}{2}*m*va^{2}+m*g*h)$

Acá ya tenemos el valor que debemos hallar que es vb para eso vamos a despejarla y nos queda que

$vb=\sqrt{\frac{(fr*d*cos(\alpha)+(\frac{1}{2}*m*va^{2}+m*g*h)*2}{m} }$ (ecuación 2)

tenemos casi todos los datos para sacar VB a excepción de fr y d para eso usaremos su formulas

Para fr

$fr=N*u$

Descomponiendo el cuerpo en A, debido a su angulo obtenemos que

$N=m*g*cos(30)$

reemplazando nos da que

$Fr=1kg*9,81m/s^{2}*0,35*cos(30)=2,97N$

ya tenemos la fuerza de rozamiento para la distancia D planteamos que

$sen(30)\frac{h}{d}$

despejando d nos queda que

$d=\frac{h}{sen(30)}=\frac{5m}{sen(30)}=10m$

Teniendo todos los datos y que el angulo α será 180° ya que se opone al movimiento, más los datos dado por el  ejercicio (masa 1kg, va=10m/s) nos queda que

$vb=\sqrt{\frac{(2,97n*10m*cos(180)+(\frac{1}{2}*1kg*10m/s^{2}+1kg*9,81m/s^{2} *5m)*2}{1kg}}=11,8m/s$

La velocidad en b será 11,8m/s

b) Energía total en B

La energía total en B será como la energía mecanica es decir

$Emb=\frac{1}{2}*m*vb^{2}=\frac{1}{2}*1kg*(11,8m/s)^{2}=69,62J$

La energía total en B será de 69,62J

c) Velocidad en B

A existir una fuerza de rozamiento, el planteamiento será similar al punto a quedando

$Fr*d*cos(\alpha )=Emc-Emb$

En C solo hay energía cinetica por lo que nos queda que

$Fr*d*cos(\alpha )=\frac{1}{2}*m*vc^{2}-Emb$

Tenemos que despejar VC y nos queda que

$vc=\sqrt{\frac{(fr*d*cos(\alpha)+emb)*2}{m}$ (ecuación 3)

Solo nos falta sacar la Fr, debido a que no esta inclinado nos queda que

$N=m*g$

$Fr=N*u=m*g*u=1kg*9,81m/s^{2}*0,5=4,90N$

El angulo será 180 tambien por lo que nos queda

$vc=\sqrt{\frac{(4,90N*10m*cos(30)+69,62J)*2}{1kgr}}=6,42m/s$

La velocidad en C será 6,42m/s

D) Energía total en C.

Se plantea igual que en punto B nos queda que

$Emc=\frac{1}{2}*m*vc^{2}=20,6J$

La energía total en C será de 20,6J

e) Entre CD no hay fuerza de rozamiento por que nos queda que

$Emd=Emc$

En D solo hay energía potencial elastica, pues a ser la máxima compresión no hay velocidad en consecuencia no hay cinetica, ni hay altura para existir gravitatoria por lo que nos queda que

$emd=\frac{1}{2}*k*x^{2}$

Quedando lo siguiente

$\frac{1}{2}*k*x^{2}=Emc$

De acá tenemos que despejar X nos queda que

$x=\sqrt{\frac{emc*2}{k}}$

reemplazando nos queda que

$x=\sqrt{\frac{20,6J*2}{30N/m}}=1,17m$

La máxima compresión sera 1,17m