Question

¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a * b?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en I y en III
E) En I, en II y en III

#PSU

Answer 1

Los triángulos, en donde se cumple que c² = ab son: C) Sólo en I y en II

Para resolver nombraremos a los lados en blanco con las variables "x" y "y", y usaremos el Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

I. Aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo más grande.

x² + y² = (a + b)²  ... (1)

Pero:

x² = a² + c²

y² = c² + b²

Reemplazamos en la primera ecuación:

a² + c² + c² + b² = (a + b)²

2c² = a² + 2ab + b² - a² - b²

2c² = 2ab

c² = ab ... CUMPLE

II) Aplicamos también Teorema de Pitágoras:

c² + y² = a² ... (1)

Pero sabemos también:

y² = (a - b)² + x²

Reemplazamos en la primera ecuación:

c² + y² = a²

c² + (a - b)² + x² = a²

c² + a² -2ab + b² + x² = a² ... (2)

Luego sabemos que:

x² = c² - b²

Reemplazamos en la ecuación (2)

c² + a² -2ab + b² + x² = a²

c² + a² -2ab + b² + c² - b² = a²

2c² = 2ab

c² = ab ... CUMPLE

III) Aplicamos también Teorema de Pitágoras:

y² + b² = c²  ... (1)

Pero sabemos también:

y² = (c - a)² + x²

Reemplazamos en la primera ecuación:

y² + b² = c²

(c - a)² + x² + b² = c² ...(2)

Luego sabemos que:

x² = b² - a²

Reemplazamos en la ecuación (2)

(c - a)² + x² + b² = c²

c² + 2ac + a² + b² - a² + b² = c²

2b² = 2ac

b² = ac ... NO CUMPLE