Question

Una espira metálica (resistencia = 5 mΩ) está dispuesta como muestra la figura. Junto a la espira hay un alambre largo recto que lleva una corriente. Si d = 2.5 cm, D = 6.1 cm y L = 0.6 m y la corriente en el alambre aumenta a razón de 148 A/s, qué corriente (en mA) se induce en la espira

Answer 1

Por la espira cerrada de la figura circula una corriente de 3,17 miliamperios.

Explicación:

La fuerza electromotriz que se generará en la espira es la producida por la variación del campo magnético generado por el cable, aplicando a este la ley de Ampere tenemos:

$\int\limits^{}_C {B} \, dl=\mu_0 I$

Tomamos como curva cerrada una circunferencia perpendicular al cable y concéntrica con este en la que el campo magnético es uniforme:

$2\pi rB=\mu_0 I\\\\B =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Ahora según la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz es la derivada temporal del flujo, y a su vez el flujo es la integral de superficie del campo magnético a través del área:

$\phi=\int\limits^{}_{S} {B} \, dS$

Como la espira es rectangular, si llamamos 'x' a la dirección paralela al cable e 'y' a la dirección perpendicular a este y tomamos como y=0 la recta del cable, con lo cual por consiguiente la distancia al cable pasa a ser la coordenada 'y', tenemos:

$\phi=\int\limits^{D}_{d}\int\limits^{L}_{0} {B} \, dxdy\\\phi=\int\limits^{D}_{d}\int\limits^{L}_{0} {\frac{\mu_0 I}{2\pi y}} \, dxdy$

Empezamos resolviendo la integral de 'x':

$\int\limits^{L}_{0} {\frac{\mu_0 I}{2\pi y}} \, dx=\frac{\mu_0 I}{2\pi y}L$

Y queda:

$\phi=\int\limits^{D}_{d}\frac{\mu_0 I}{2\pi y}Ldy=\frac{\mu_0 I}{2\pi}L.ln(\frac{D}{d})$

Ahora aplicando la ley de Faraday a este flujo tenemos:

$\epsilon=-\frac{d\phi}{dt}=-\frac{\mu_0}{2\pi}ln(\frac{D}{d}).L\frac{dI}{dt}$

Esto devido a que lo único variable en el tiempo de esta expresión es la corriente, la cual es una rampa con la ecuación:

$I(t)=148\frac{A}{s}.t$

Con lo  cual la fem nos queda:

$\epsilon=-\frac{\mu_0}{2\pi}ln(\frac{D}{d}).L.148\frac{A}{s}$

Reemplazando valores queda:

$\mu_0=4\pi x10^{-7}\frac{m.T}{A}\\D=0,061m\\d=0,025m\\L=0,6m\\\\\epsilon=-\frac{4\pi x10^{-7}}{2\pi}ln(\frac{0,061}{0,025}).0,6.148\frac{A}{s}=-1,584x10^{-5}V$

Como es una espira cerrada cuya resistencia conocemos, ahora alcanza con aplicar la ley de Ohm teniendo la tensión que acabamos de calcular para hallar la corriente:

$I=\frac{E}{R}=\frac{1,584x10^{-5}V}{5x10^{-3}\Omega}\\\\I=3,17mA$