Question

La velocidad de escape de una partícula en un cuerpo celeste con masa 7,106,922.86 en kg es la mínima velocidad que debe tener en la superficie terrestre para que la partícula pueda escapar del campo gravitatorio terrestre. Con la constante de gravitación universal de Newton (para este caso asume que la constante de gravitación es 0.667 $N*m^{2} /Kg^{2}$) y el radio 5,867.75 en kilómetros como ayuda en los cálculos.

Si se desprecia la resistencia de la atmósfera y el sistema es conservativo. A partir del teorema de conservación de la suma de las energías cinética y potencial, demuestra que la velocidad de escape para cualquier cuerpo celeste, ignorando la presencia de la luna es de?

Answer 1

La velocidad de escape con los valores de masa y radio planteados en los datos, y la constante de gravitación universal que se solicita considerar en este problema, es de 0,62 metros por segundo.

Explicación:

La velocidad de escape de un cuerpo celeste es la mínima velocidad que se requiere para que una partícula pueda salir de la influencia gravitatoria de un cuerpo celeste.

Podemos definirla desde el punto de vista del teorema de la conservación de la energía, igualando la energía cinética inicial con el trabajo que la fuerza gravitatoria realiza para traer una partícula desde el infinito a la superficie del cuerpo celeste bajo estudio:

$\int\limits^\infty_R {F} \, dr =\frac{1}{2}mv^2$

Ahora si desglosamos la expresión de la fuerza gravitatoria tenemos:

$\int\limits^\infty_R {G\frac{M.m}{r^2}} \, dr =\frac{1}{2}mv^2$

Donde M es la masa del cuerpo celeste, R el radio del cuerpo celeste, m la masa de la partícula y r la distancia al centro de masas del astro. Resolviendo la integral queda:

$G\frac{M.m}{R}=\frac{1}{2}mv^2$

Y despejando la velocidad del segundo miembro que será la velocidad de escape queda:

$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Siendo esta la velocidad de escape para toda partícula, reemplazando valores tenemos:

$G=0,667\frac{Nm^2}{kg^2}\\M=7,11x10^{6}kg\\R=5,868x10^{6}m\\\\v=\sqrt{\frac{2.0,667.7,11x10^{6}}{5,868x10^6}}\\\\v=0,62\frac{m}{s}$

Siendo esta la velocidad de escape para el astro con los valores de masa y radio informados en el problema y el valor considerado para este problema de la constante de gravitación universal. En el caso de la Tierra tenemos:

$G=6,67x10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\\M=5,98x10^{24}kg\\R=6,378x10^{6}m\\\\v=\sqrt{\frac{2.6,67x10^{-11}.5,98x10^{24}}{6,378x10^6}}\\\\v=11183\frac{m}{s}$