Question

Un cuerpo de 4kg esta unido a una varilla giratoria vertical, por medio de dos cuerdas, como se indica en la figura. Si el cuerpo describe una circunferencia horizontal con una rapidez constante de 6 (m/s). Determine las magnitudes de las tensiones en las cuerdas superior e inferior. Tomar en cuenta que las tensiones en las cuerdas resultan ser diferentes

Answer 1

La tensión en la cuerda superior es de 88,6N mientras que en la cuerda inferior la tensión es de 36,4N.

Explicación:

Si el cuerpo se mantiene girando alrededor de la varilla, la fuerza centrípeta sobre él es:

$F_{TOT}=ma_{n}=m\frac{v^2}{r}$

La cual es horizontal y radial a la trayectoria, en sentido hacia afuera. Si las dos cuerdas son de igual longitud, se puede decir que la distancia entre el plano de la trayectoria y cualquiera de las dos sujeciones es 1,5 metros, queda que el radio de la trayectoria es:

$r=\sqrt{(2m)^2-(1,5m)^2}=1,32m$

Y la fuerza centrípeta total es:

$F_{TOT}=m\frac{v^2}{r}=4kg.\frac{6^2}{1,32^2}=82,3N$

Esta tiene que ser la resultante de todas las fuerzas, como es horizontal y radial a la varilla queda:

$T_1.cos(\theta)+T_2cos(\theta)=F_{TOT}\\T_1.sen(\theta)+T_2.sen(\theta)+mg=0\\\\(T_1+T_2)cos(\theta)=F_{TOT}\\-T_1.sen(\theta)+T_2.sen(\theta)+mg=0$

Las funciones del ángulo θ de inclinación de las cuerdas respecto a la horizontal queda:

$cos(\theta)=\frac{r}{2m}=\frac{1,32m}{2m}=0,66\\\\sen(\theta)=\frac{1,5m}{2m}=0,75$

Y el sistema de ecuaciones queda:

$(T_1+T_2).0,66=82,3N\\(T_2-T_1).0,75+4kg.9,8\frac{m}{s^2}=0\\\\(T_1+T_2)=125N\\(T_2-T_1)=-\frac{4kg.9,8\frac{m}{s^2}}{0,75}=-52,3N\\\\T_1+T_2=125N\\T_1-T_2=52,3N$

Lo podemos resolver por el método de la reducción sumando las dos ecuaciones:

$T_1+T_2=125N\\T_1-T_2=52,3N\\\\2T_1=177,3\\T_1=88,6N$

Y restando las dos ecuaciones queda:

$T_1+T_2=125N\\T_1-T_2=52,3N\\\\2T_2=72,7N\\T_1=36,4N$