Question

Determinar los valores de k tales que los sistemas siguientes tengan: Una
solución, infinitas soluciones, ninguna solución

Answer 1

El primer sistema no tiene solución con k=4 mientras que tiene infinitas soluciones con k distinto de 4.

El segundo sistema tiene infinitas soluciones con k=3 y solución única con k distinto de 3.

Explicación paso a paso:

Para que un sistema tenga una solución, es decir sea compatible determinado, tiene que tener tantas ecuaciones como incógnitas posea, por ende:

a) Este sistema solo puede ser compatible indeterminado (tener infinitas soluciones) o ser incompatible (no tener solución). Podemos recurrir al método de la reducción multiplicando por 2 la primera ecuación:

$x+2y+kz=1\\2x+ky+8z=3\\\\2x+4y+2kz=2\\2x+ky+8z=3$

Siendo su matriz ampliada:

$M=\left[\begin{array}{ccc|c}2&4&2k&2\\2&k&8&3\end{array}\right]$

Si las filas de la matriz de coeficientes (a la izquierda de la barra) son linealmente dependientes pero las de la matriz ampliada no lo son, el sistema será incompatible, la única manera de lograr esta condición es con k=4, de modo que con k=4 el sistema es incompatible, siendo compatible indeterminado para todos los otros valores de k.

b) En este otro caso, la matriz ampliada del sistema es:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&k&2\\3&4&2&k\\2&3&-1&1\end{array}\right]$

De acuerdo a la regla de Cramer, el sistema será compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes es igual a la cantidad de incógnitas, es decir su determinante es distinto de 0:

$det\left[\begin{array}{ccc}1&1&k\\3&4&2\\2&3&-1\end{array}\right]=1(4(-1)-3.2)-1(3(-1)-2.2)+k(3.3-2.4)=0\\\\-10+7+k=0\\\\k=3$

Con este valor de k la matriz ampliada queda:

$A=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&3&2\\3&4&2&3\\2&3&-1&1\end{array}\right]$

Como vemos, tanto en la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada la primera fila es resulta de restar la segunda con la tercera, lo que implica que tanto en la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada las filas son linealmente dependientes, entonces el sistema será compatible indeterminado con k=3.