Question

Ayuda con mi tarea de fisica
1.) Considere un cable coaxial muy largo. el conductor interno tiene a y es mantenido a un potencial V0. el conductor exterior tiene un radio exterior b y esta conectado a tierra. Determine la funcion potencial en el espacio entre los conductores....


2.) Sobre una cascara cilindrica de radio R muy larga se ha distribuido uniformemente sobre su superficie una carga Q+ como se muestra en la figura. Determine la diferencia de potencial entre su superficie y el punto P ubicado a una distancia r...

Answer 1

En el cable coaxial, en cualquier punto entremedio de a y b, tomando r como distancia al conductor externo, el potencial es:

$V(r)=\frac{V_s}{ln(\frac{b}{a})}.ln(\frac{b}{r})$

Y en el tubo, a una distancia r de la superficie del cilindro el potencial es:

$V_{Ps}=\frac{Q}{2\pi L}ln(\frac{r}{R}+1)$

Explicación:

En ambos problemas se puede aplicar la Ley de Gauss tomando como superficie gaussiana la más conveniente para cada uno.

a) Se puede tomar como superficie un cilindro de radio intermedio entre a y b, en la superficie gaussiana el campo eléctrico es uniforme por lo que queda:

$\int\limits^{}_{S} {E} \, dS =\frac{Q}{\epsilon_0}$

Q es la carga encerrada por la superficie gaussiana, como el campo eléctrico es uniforme en la superficie y podemos considerar una distribución lineal queda:

$E.2\pi rL =\frac{\lambda L}{\epsilon_0}$

Esto debido a que el flujo eléctrico solo existirá en la cara lateral ya que en las tapas el producto escalar entre el flujo y el vector dS es nulo.

$E=\frac{\lambda}{2\pi r\epsilon_0}$

Y el potencial en un punto r entremedio de a y b esta dado por:

$V_{rb}=\int\limits^b_r {E} \, dr =\int\limits^b_r {\frac{\lambda}{2\pi r\epsilon_0}} \, dr\\\\V_{rb}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}.ln(\frac{b}{r})$

Para r=a tengo:

$V_{ab}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}.ln(\frac{b}{a})\\\\\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}=\frac{V_s}{ln(\frac{b}{a})}$

Y la función potencial en un punto intermedio entre b y a es:

$V(r)=\frac{V_s}{ln(\frac{b}{a})}.ln(\frac{b}{r})$

b) En este punto podemos aplicar la ley de Gauss, tomando un cilindro concéntrico con el tubo como superficie, y teniendo en cuenta que r es la distancia hasta la superficie:

$\int\limits^{}_{S} {E} \, dS =\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E.2\pi (r+R).L=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{\lambda}{2\pi (r+R)}$

Aquí entra en escena L que es la longitud total del tubo. El potencial es:

$V_{Ps}=\int\limits^r_0 {\frac{\lambda}{2\pi (r+R)}} \, dr \\\\V_{Ps}=\frac{\lambda}{2\pi}ln(\frac{r+R}{R})\\\\V_{Ps}=\frac{Q}{2\pi L}ln(\frac{r}{R}+1)$