Question

Hola que tal, El siguiente problema=con que valor de k la siguiente ecuación tiene una sola raiz real. 4/25x2+(k+2)x+15k+10=0.. me podrán ayudar?

Answer 1

Tarea:

¿Qué valor de k la siguiente ecuación tiene una sola raíz real?  

$\dfrac{4}{25} x^2+(k+2)x+15k+10=0$

Respuesta:

Dos soluciones:

x₁ = 27/10

x₂ = -37/10

Explicación paso a paso:

Hay que fijarse en la fórmula de resolución de ecuaciones cuadráticas que dice:

$x_1_,x_2= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Para que cualquier ecuación cuadrática solo tenga una raíz real hay que conseguir que el discriminante sea cero.

Ello es así porque, si toda la expresión que encierra el radical (discriminante) es cero, la raíz cuadrada de cero es cero y en la fórmula tendremos esto:

$x_1_,x_2= \dfrac{ -b \pm 0 }{2a}=\dfrac{-b}{2a}$

Y con ello queda garantizado que solo habrá una solución porque el doble signo $\pm$ no tiene ningún efecto al obtener el mismo resultado sumando o restando un cero, ok?

Lo que hay que igualar a cero en la fórmula general, por tanto, es la expresión: b²-4ac

El discriminante es el radicando de ese radical de la fórmula. Por tanto hemos de usar los coeficientes que acompañan a las "x" y el término independiente: a, b, c

Para ello vamos a identificarlos:

La forma genérica de representar una ecuación de 2º grado es:   ax² + bx + c = 0

En este caso tenemos esto:

$a=\dfrac{4}{25} \\ \\ b=(k+2)\\ \\ c=15k+10$

Sustituyo los valores dentro de la raíz y los igualo a cero obteniendo de ese modo otra ecuación de 2º grado:

$(k+2)^2-4*\dfrac{4}{25} *(15k+10)=0\\ \\ \\ k^2+4k+4-(\dfrac{16}{25})*(15k+10)=0\\ \\ \\ k^2+4k+4-(\dfrac{240k+160}{25})=0\\ \\ \\ 25k^2+100k+100-240k-160=0\\ \\ 25k^2-140k-60=0\ ...simplificando...\\ \\ 5k^2-28k-12=0$

Resolvemos esta nueva ecuación cuadrática aplicando la fórmula:

$x_1_,x_2= \dfrac{ -5 \pm \sqrt{(-28)^2-4*5*(-12)} }{2*5} = \\ \\ \\ = \dfrac{ -5 \pm \sqrt{784+240} }{10} = \dfrac{ -5 \pm {32} }{10} \\ \\ \\ x_1=\dfrac{-5+32}{10}=\dfrac{27}{10} \\ \\ \\ x_2=\dfrac{-5-32}{10}=-\dfrac{37}{10}$

Con ello llegamos a dos soluciones para el valor de "k" y para que cumpla la condición pedida de que sólo tenga una raíz real.

Saludos.