Question

Halle a, b y c para que el polinomio y4+3y3+ay2+by+c sea divisible por y3+y2-4y-4.

Answer 1

Los valores de a, b y c que hacen que el polinomio $y^4+3y^3+ay^2+by+c$ sea divisible por $y^3+y^2-4y-4$ son a=14, b=-12 y c=-40.

Explicación paso a paso:

Para que el polinomio $y^4+3y^3+ay^2+by+c$ sea divisible por $y^3+y^2-4y-4$ todos los ceros del divisor deben ser también ceros del dividendo. Por tanteo, x=-1 es una raíz del polinomio divisor.

$~~~~|1~~1~-4~-4\\-1|~-1~0~~~~~4\\--------\\~~~~~|1~~0~-4~|0$

Siendo la factorización del polinomio divisor:

$(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x+2)(x-2)$

Con lo que x=-1, x=2 y x=-2 deben ser raíces del polinomio dividendo, nos queda:

$(-1)^4+3.(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+c=0\\(-2)^4+3.(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+c=0\\(2)^4+3.(2)^3+a(2)^2+b(2)+c=0\\\\1-3+a-b+c=0\\16-24+4a-2b+c=0\\16+24+4a+2b+c=0$

Reordenando queda:

$a-b+c=2\\4a-2b+c=8\\4a+2b+c=-40$

Si restamos la segunda y la tercera ecuación queda:

$4a-2b+c=8\\4a+2b+c=-40\\---------\\-4b=48\\b=-12$

Ahora podemos sumar la segunda y la tercera ecuación:

$4a-2b+c=8\\4a+2b+c=-40\\---------\\8a+2c=-32\\4a+c=16$

Y también podemos sumar el doble de la primera ecuación a la tercera:

$2(a-b+c=2)\\4a+2b+c=-40\\---------\\6a+3c=-36\\2a+c=-12$

Con esto convertimos el sistema en un sistema de dos ecuaciones:

$4a+c=16\\2a+c=-12$

Con lo que siguiendo con el método de la reducción podemos hallar a y b:

$Ec_1-Ec_2\\4a+c=16\\2a+c=-12\\-------\\2a=28\\a=14\\\\Ec_1-2Ec_2\\4a+c=16\\4a+2c=-24\\-------\\-c=40\\c=-40$