Question

Un jugador de beisbol lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por la parábola

3x²-240x+160y=0

¿Cual es la altura máxima alcanzada por la pelota?y¿a que distancia cae del jugador?

Answer 1

Respuesta:

Altura máxima = 30

Distancia entre el jugador y la pelota = 80

Explicación paso a paso:

Para la altura máxima

Lo que buscamos es el vértice de la parábola y para esto hay dos métodos: completar cuadrados o usar una fórmula (si es que ya la conoce)

Completemos cuadrados:

$3x^{2}-240x + 160y = 0$

$3x^{2}-240x = -160y$   (pasamos el $160y$ restando)

$3(x^{2}-80x) =-160y$     (factorizamos un $3$ )

$3\left[x^{2}- 80x + \left(\frac{80}{2} \right) ^{2} \right] = -160 + 3\left(\frac{80}{2} \right) ^{2}$  (sumamos a ambos lados de la ecuación la mitad de 80 (o sea 40) y la elevamos al cuadrado. No olvidemos que está afectado por un 3)

$3(x-40)^{2}=-160y + 4800$  (completamos trinomio cuadrado perfecto)

$3(x-40)^{2}=-160(y - 30)$   (factorizamos el $-160$ )

$(x-40)^{2}=- \dfrac{160}{3} (y-30)$ (pasamos el 3 dividiendo).

Esta última igualdad es la ecuación ordinaria de la parábola de la forma

$(x-h)^{2} = 4p(y-k)$

donde $(h,k)$ es el vértice que buscamos.

Dado que $k=30$  entonces esa es la altura máxima.

Usando la fórmula:

Tenemos que lograr que la ecuación sea del tipo

$y=ax^{2} +bx+c, \quad a\neq 0$

Entonces

$160y = -3x^{2}+ 240x$   (pasamos restando a los términos $3x^{2}$ y $-240x$ )

$y = \dfrac{-3}{160}x^{2}+\dfrac{240}{160}x$ (dividimos entre $160$ )

$y = -\dfrac{3}{160}x^{2}+\dfrac{3}{2}x$

Ahora $h=-\frac{b}{2a}$, y para nuestro caso $b=\frac{3}{2}$ y $a = - \frac{3}{160}$ , así

$h=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\frac{3}{2} }{2\times -\frac{3}{160} }=40$

y cuando $x=h=40$, obtenemos

$y=k=-\dfrac{3}{160} (40)^{2}+\dfrac{3}{2}(40)=30$

que es precisamente lo mismo.

Para la distancia

Obviamente el jugador está parado sobre el piso, y luego buscamos el punto cuando la pelota cae al suelo, esto matemáticamente quiere decir cuando $y=0$ (es decir, cuando no hay altura sobre el nivel del piso); así que es nuestra ecuación inicial $3x^{2}  - 240x + 160y = 0$ hacemos a $y=0$ y resolvemos

$3x^{2}- 240x + 160(0) = 0$

$3x^{2}- 240x = 0$

$(3x - 240)x = 0$     (factorizamos a $x$ )

de donde hallamos dos ecuaciones lineales

(1) $3x - 240 = 0$

(2) $x = 0$

Las cuales las soluciones, respectivamente son $x=80$ y $x = 0$, por lo tanto la distancia entre los puntos $(0,0)$ y $(80,0)$ es 80, que es la distancia entre el jugador y la pelota cuando ésta ha caído al suelo.

Answer 2

La altura máxima es de 90 metros y el alcance máximo es de 40 metros

Tenemos que la altura de la pelota se describe por la trayectoria:

3x² - 240x + 160y = 0

Despejamos el valor de la variable "y"

160y = -3x² + 240x

y = -3x²/160 + 240x/160

y = -0.01875x² + 1.5x

Tenemos una ecuación cuadrática con coeficiente cuadrático negativo, entonces el máximo esta en el único punto crítico es el máximo de la función:

- 0.0375x + 1.5 = 0

0.0375x = 1.5

x = 1.5/0.0375

x = 40

Sustituimos en la ecuación de altura:

y = -0.01875(40)² + 1.5(40)

y = 30 + 60

y = 90

Puedes visitar: https://brainly.lat/tarea/56479839