Question

Al realizar estudios en las mareas producidas por el cambio climático, se estableció que una ola está dada mediante la función:f(x)= (sen(x)-5)/(sen(x)-2) Si el fondo marino es considerado como punto de referencia, la ola ha alcanzado una altura de ___ metros durante el estudio

Answer 1

Si la ola sigue la función propuesta alcanzó una altura de 4 metros medida desde el fondo marino durante el estudio.

Explicación:

Para hallar la altura alcanzada por la ola hay que maximizar la función que la representa, además de ello hallar el máximo global (que es aquel en el cual la función alcanza un valor que no alcanza en ningún otro punto de su dominio). La función es:

$f(x)=\frac{sen(x)-5}{sen(x)-2}$

La condición de máximo en un punto x0 del dominio es:

f'(x0)=0

f''(x0)<0

Las derivadas de la función usando regla de cociente son:

$f'(x)=\frac{cos(x)(sen(x)-2)-(sen(x)-5)cos(x)}{(sen(x)-2)^2}=\frac{3cos(x)}{(sen(x)-2)^2}\\\\f''(x)=\frac{-3sen(x)(sen(x)-2)^2-2cos^2(x)(sen(x)-2)}{(sen(x)-2)^4}\\\\f''(x)=-\frac{[3sen(x)(sen(x)-2)+2cos^2(x)](sen(x)-2)}{(sen(x)-2)^4}\\\\f''(x)=-\frac{[3sen^2(x)-6sen(x)+2cos^2(x)](sen(x)-2)}{(sen(x)-2)^4}=-\frac{[sen^2(x)-6sen(x)+1]}{(sen(x)-2)^3}$

Para hallar el máximo igualamos la derivada a cero:

$\frac{3cos(x)}{(sen(x)-2)^2}=0\\\\3cos(x)=0=> x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$

Con lo cual tenemos que la función es periódica, ahora para ver si es un máximo hacemos:

$-\frac{[sen^2((2n+1)\frac{\pi}{2})-6sen((2n+1)\frac{\pi}{2})+1]}{(sen((2n+1)\frac{\pi}{2})-2)^3}<0\\\\1-6sen((2n+1)\frac{\pi}{2})+1<0\\\\2-6sen((2n+1)\frac{\pi}{2})<0\\\\n~par=>2-6sen((2n+1)\frac{\pi}{2})<0\\n~impar=>2-6sen((2n+1)\frac{\pi}{2})>0\\\\f''(x)<0~si~x=(4k+1)\frac{\pi}{2}$

Los máximos son periódicos, hallemos la ordenada del primer máximo:

$f(x)=\frac{sen(\frac{\pi}{2})-5}{sen(\frac{\pi}{2})-2}=4m$