Question

x elevado a la x = 1/ raiz cuarta de 2

Answer 1

La solución a la ecuación trascendente propuesta es x=0,0625

Explicación paso a paso:

Pasando en limpio la ecuación propuesta queda:

$x^x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

En esta ecuación se puede aplicar el logaritmo natural en ambos miembros y queda:

$ln(x^x)=ln(\frac{1}{\sqrt[4]{2} })$

Si tenemos en cuenta que es:

$\frac{1}{\sqrt[4]{2} }=x^{-\frac{1}{4}}$

Y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia, nos queda:

$x.ln(x)=-\frac{1}{4}.ln(2)$

Esta es una ecuación trascendente, por ende no la podemos resolver analíticamente. Hay que resolverla por un método numérico como por ejemplo el de la iteración, si aproximamos el segundo miembro queda:

$x.ln(x)=-0,1732868$

Por tanteo tomamos un valor para x, por ejemplo podemos comenzar con x=0,1:

$0,1.ln(0,1)=-0,1732868\\0,1.(-2,3025851)=-0,1732868\\-0,23025851=-0,1732868$

Nos da un valor bastante cercano, por lo que por el teorema de Taylor podemos aproximar linealmente alrededor de x=0,1 como:

$ln(x) \simeq ln(0,1)+\frac{1}{0,1}(x-0,1)=ln(0,1)+\frac{1}{0,1}x-1\\\\ln(x)\simeq -3,3025851+10x$

Y entones la ecuación aproximada la podemos escribir como:

$(-3,3025851+10x)x=-0,1732868\\\\-3,3025851x+10x^2+0,1732868=0$

Y con esto resolvemos la ecuación cuadrática:

$-3,3025851x+10x^2+0,1732868=0\\\\x=\frac{3,3025851\ñ\sqrt{(-3,3025851)^2-4.10.0,1732868}}{2.10}\\\\x=0,2648237\\x=0,0654348$

Esos valores tenemos que probarlos en la ecuación real:

$0,2648237.ln(0,2648237)=-0,1732868\\-0,3518689=-0,1732868\\\\\\0,0654348.ln(0,0654348)=-0,1732868\\-0,1784211=-0,1732868$

Aplicando a partir de x=0,0654348 aproximaciones sucesivas (partiendo de que el valor de x es ligeramente menor), llegamos a que la solución es x=0,0625.

Answer 2

Respuesta:

x=1/16

Explicación paso a paso: