Question

Una polea sin fricción tiene la forma de un disco sólido uniforme de masa 2.50 kg y radio 20.0 cm. Una piedra de 1.50 kg se une a un alambre muy delgado que se enrolla alrededor del borde de la polea y el sistema se libera del reposo. a) ¿Qué tan lejos debe caer la piedra para que la polea tenga 4.50 J de energía cinética? b) ¿Qué porcentaje de la energía cinética total tiene la polea?

Answer 1

Para que la polea gane 4,5 J de energía cinética rotacional, la piedra tiene que caer 0,673 metros, en ese punto un 45,5% de la energía potencial liberada se convierte en energía cinética para la polea.

Explicación:

Si se asume que el sistema es como el de la figura adjunta, aplicando el teorema de la conservación de la energía tenemos por un lado la energía potencial gravitatoria de la piedra, la cual se divide en energía cinética de la piedra y energía cinética rotacional de la polea.

$mgz=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Iw^2$

Tenemos para la polea, modelada como un disco de masa uniformemente distribuida:

$w=\frac{v}{R}\\\\I=\frac{1}{2}MR^2$

Reemplazando queda:

$mgz=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}MR^2(\frac{v}{R})^2\\\\mgz=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{4}Mv^2$

a) Ahora si queremos que la polea tenga 4,5J de energía cinética, la velocidad a la que tiene que girar es:

$4,5J=\frac{1}{4}Mv^2\\\\v=\sqrt{\frac{4.4,5}{M}}=\sqrt{\frac{4.4,5}{2,5kg}}=2,68\frac{m}{s}$

Para que tanto la polea como la piedra tengan esta velocidad, la piedra tiene que caer una cierta distancia respecto del punto de partida que desepjamos del teorema de conservación de la energía.

$mgz=\frac{1}{2}mv^2+4,5J\\\\z=\frac{\frac{mv^2}{2}+4,5J}{mg}=\frac{\frac{1,5kg.(2,68\frac{m}{s})^2}{2}+4,5J}{1,5kg.9,8\frac{m}{s^2}}\\\\z=0,673m$

b) A esa distancia, la energía potencial que la piedra liberó y que se transformó tanto en energía cinética de la piedra como en energía cinética rotacional de la polea es:

$E=m.g.z=1,5kg.9,8\frac{m}{s^2}.0,673m=9,9J$

De lo cual el siguiente porcentaje se convirtió en energía cinética rotacional de la polea:

$\eta=\frac{E_{rp}}{E}.100\%=\frac{4,5J}{9,9J}.100\%=45,5\%$