Con respecto a las raíces del polinomio p(x) = x3-7x+m; m∈R se sabe que una raíz es positiva e igual al doble de otra. Halle la suma de los cubos de todas las raíces de este polinomio.
A. -24
B. -18
C. -21
D. -9
E. -15
Respuestas
La suma de las raíces de este polinomio es -18
Para poder determinar las raíces de este polinomio, nosotros sabemos que p se puede escribir como
p(x) = (x - a)(x - b)(x - c)
Como sabemos que c = 2a, tenemos
p(x) = (x-a)(x - 2a)(x - b)
Si resolvemos este producto, tenemos
(x-a)(x - 2a) = x² -2ax -ax + 2a² = x² -3ax + 2a²
(x² -3ax + 2a²)(x - b) = x³ -bx² -3ax² + 3abx +2a²x - 2a²b = x³ - (3a + b)x² + (3ab + 2a²)x - 2a²b
Ahora bien, este polinomio debe ser igual a x³ - 7x + m, es decir
x³ - (3a + b)x² + (3ab + 2a²)x - 2a²b = x³ - 7x + m
- (3a + b)x² + (3ab + 2a²)x - 2a²b = - 7x + m
Ahora bien, dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales, por lo que
3a + b = 0
3ab + 2a² = -7
-2a²b = m
De la primera ecuación sabemos que b = -3a, si sustituyo esto en la segunda ecuación, tenemos
3a(-3a) + 2a² = -7
-9a² + 2a² = -7
-7a² = -7
a² = 1
a = ±1, pero a debe ser positivo, por lo que a = 1, b = -3
Y entonces m = -2(1)²(-3) = 6
Entonces, las raíces son a = 1, b= -3, c = 2*1 = 2
Y la suma de sus cubos es
1³ + (-3)³ + 2³ = 1 - 27 + 8 = -18