En el colegio de un corregimiento de Colombia se requiere diseñar un sintonizador de radio de FM. Los estudiantes les agrada escuchar “la emisora pepita” que transmite a X MHz, pero no les gusta escuchar “la emisora paquita”, que difunde a Y MHz, ambas estaciones quedan a la misma distancia del pueblo y ambos transmisores son igual de potentes.
Cada estudiante debe diseñar un circuito RLC con las siguientes características:

a) El receptor debe obtener la máxima respuesta de potencia cuando se sintoniza la frecuencia de la señal de radio preferida. Tenga en cuenta que en la frecuencia de resonancia, el circuito disipa la potencia máxima media.

b) El valor de la bobina en el circuito debe ser L= 4 mH. Conociendo el valor de la inductancia, y la frecuencia de resonancia del circuito, solo basta determinar la capacitancia.

c) La potencia promedio entregada al resistor en respuesta a la señal de “la emisora paquita” debe ser máximo el 1% de la potencia promedio en respuesta a la señal de “la emisora pepita” con el fin de limitar la potencia recibida de la estación indeseable. Es importante resaltar que a la frecuencia de resonancia, la impedancia del circuito es igual a la resistencia. Además por ser un circuito con un voltaje de entrada de corriente alterna (señal de radio) tiene como uno de sus parámetros eléctricos la impedancia.

d) Los valores de las frecuencias X y Y deben ser establecidas por el estudiante y estas deben estar en la banda FM definidas en el espectro electromagnético. Publique en el foro Post tarea – Evaluación final (POA), las dos frecuencias que va a usar para su diseño con el fin de que otro compañero no use los mismos valores.

e) Asuma que la señales recibidas por la antena que llega al sintonizador, corresponde a una fuente de voltaje AC de 12V, esto para fines de simulación del circuito. Cada estudiante debe calcular los valores de los componentes del circuito RLC, para dar cumplimiento a los lineamientos de diseño establecidos en los literales a) hasta e), así como una breve descripción de los componentes usados en el circuito propuesto.

Respuestas

Respuesta dada por: LeonardoDY

La solución es un circuito RLC serie como el de la imagen adjunta con:

R=0,816 Ohmios

L=4mH y Q=3080159

C=0,633fF

Circuito que puede simularse con LTSpice.

Explicación paso a paso:

Para resolver el circuito RLC requerido vamos a tener en cuenta que:

La banda de FM está entre 88MHz y 108MHz
Como la fuente es de voltaje, el circuito será serie.
En FM los canales tienen un ancho de 200KHz y se deja un canal libre entre canal y canal, por lo que cada portadora está separada 400KHz de sus canales contiguos

Teniendo en cuenta esto podemos adoptar para "pepita" una frecuencia de 100MHz, y en el peor caso, que "paquita" sea un canal contiguo, lo vamos a poner en 100,4 MHz.

Si el valor del inductror es de 4mH, el valor del capacitor lo calculamos fácilmente a partir de la fórmula de la frecuencia de resonancia:

$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\\\\C=\frac{1}{(2\pi f_0)^2L}=\frac{1}{(2\pi .1x10^{8})^24x10^{-3}}=6,33x10^{-16}F=0,633fF$

Ahora bien, en resonancia la corriente será máxima, y la expresión de esta es:

$I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{R+j(wL-\frac{1}{wC})}=\frac{V}{R+j\frac{w^2LC-1}{wC}}=\frac{V}{R(1+j\frac{w^2LC-1}{wCR})}$

Donde tenemos:

$w_0^2=\frac{1}{LC}\\\\Q=\frac{1}{wCR}$

Nos queda:

$I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{R+j(wL-\frac{1}{wC})}=\frac{V}{R+j\frac{w^2LC-1}{wC}}=\frac{V}{R(1+jQ(\frac{w^2}{w_0^2}-1))}$

Ahora la potencia entregada en la resistencia (que es la que aprovechamos) es:

$P=|I|^2R=\frac{V^2}{R^2(1+Q^2(\frac{w^2}{w_0^2}-1)^2)}R=\frac{V^2}{R(1+Q^2(\frac{w^2}{w_0^2}-1)^2)}$

Ahora bien, para que la potencia recibida de paquita sea un 1% de la potencia de pepita, tenemos que hacer la siguiente relación de potencias:

$0,01=\frac{P_{paquita}}{P_{pepita}}=\frac{R(1+Q^2(\frac{w_0^2}{w_0^2}-1)^2)}{R(1+Q^2(\frac{w_p^2}{w_0^2}-1)^2)}=\frac{1}{1+Q^2(\frac{w_p^2}{w_0^2}-1)^2}$

De aquí despejamos el Q, o factor de calidad:

$1+Q^2(\frac{w_p^2}{w_0^2}-1)^2=100\\\\1+Q^2(\frac{f_p^2}{f_0^2}-1)^2=100\\\\1+Q^2(\frac{100,4^2}{100^2}-1)^2=100\\\\Q=1540706$

Un valor imposible de alcanzar en un filtro de radiofrecuencia real, por esta razón en la práctica se emplea un filtro de radiofrecuencias de mayor orden que 1 además de un segundo filtro en la etapa de frecuencia intermedia. Pero suponiendo que se pueda utilizar este valor, de la expresión del factor de calidad despejamos la resistencia total del circuito:

$Q=\frac{1}{w_0CR}=> R=\frac{1}{w_0CQ}=\frac{1}{2\pi.1x10^{8}.6,33x10^{-16}.1540706}=1,63\Omega$

Ahora bien, esta es la resistencia total del circuito, incluyendo la resistencia del inductor, la resistencia de carga y la interna del generador, según el teorema de la máxima transferencia de energía, la máxima potencia la tengo cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia del generador, entonces podemos asumir:

$R_L=\frac{R}{2}=\frac{1,63\Omega}{2}=0,816\Omega$