Respuestas
Respuesta:
144
Explicación paso a paso:
18 48 2
9 24 2
9 12 2
9 6 2
9 3 3
3 1 3
1 1 M.C.M: 2x2x2x2x3x3=144
El proceso del M.C.M es diferente al M.C.D
Explicación paso a paso:
MCM; Mínimo Común Múltiplo de 2 o mas numeros...
Como su mismo nombre lo dice, el MCM de dos o mas numeros, es un numero que cumple con dos condiciones:
Es un múltiplo común de los numeros.
Es el mínimo
Ahora, ¿que es un múltiplo de un numero?; es aquel numero (por ejemplo, un numero "B") que es el resultado de un numero inicial (por ejemplo un numero "A") multiplicado por un numero entero.
Por ejemplo:
B es múltiplo de A, si y solo si B = A×k ; y "k" es un numero entero (osea un numero negativo o positivo o el cero)
18 es múltiplo de 6, ya que 18 = 6×3
63 es múltiplo de 7, ya que 63 = 7×9
1001 es múltiplo de 11, ya que 1001 = 11×91
1001 es múltiplo de 13, ya que 1001 = 13×77
etc...
OJO: En el MCM no podemos utilizar múltiplos negativos, averigua el porque :)
Ahora, si tomamos de ejemplo a tu tarea, buscamos, de todos los múltiplos de 18 y 48, uno común, y ademas que sea el mínimo.
Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, ...
Múltiplos de 48: 48, 96, 144, 192, 240, 288, ...
ahí, claramente se puede ver cual es la respuesta, pero no en todos los problemas sobre MCM va a ser tan fácil, por eso recurrimos a otro método, el razonamiento.
Si te pones a pensar, recuerdas la clase de múltiplos y divisores, recordaras que tu profesor te dijo que todo numero entero positivo, se puede expresar como el producto de sus divisores primos elevados a ciertos exponentes, y a esa representación se le llama descomposición canónica.
asi que descomponemos a los dos numeros, y al MCM, para encontrar una relación:
Múltiplos de 18: 18×1, 18×2, 18×3, 18×4, 18×5, 18×6, 18×7, 18×8, 18×9, ...
Múltiplos de 48: 48×1, 48×2, 48×3, 48×4, 48×5, 48×6, ...
18 = 3×6 = 3×2×3 = 2×3×3 = 2×3² (presenta un "2" y dos "3")
48 = 4×12 = 4×3×4 = 3×4×4 = 3×4² = 3×(2²)² = 3×2⁴ (tiene un "3" y cuatro "2")
El que tiene mas "3" es el 18, tiene dos; y el que tiene mas "2" es el 48, tiene cuatro.
Múltiplos de 18: 2×3²×1, 2×3²×2, 2×3²×3, 2×3²×4, 2×3²×5, 2×3²×6, 2×3²×7, 2×3²×8, 2×3²×9 , ...
Múltiplos de 48: 3×2⁴×1, 3×2⁴×2, 3×2⁴×3, 3×2⁴×4, 3×2⁴×5, 3×2⁴×6, ...
144 = 2×3²×8 = 2×3²×2³ = 2⁴×3² ( gano tres "2", ahora tiene cuatro "2" como el 48)
144 = 3×2⁴×3 = 3²×2⁴ (gano un "3", ahora tiene dos "3" como el 18)
Desde otro punto de vista:
18 = 2×3² = 3×3×2 = 3×6
48 = 3×2⁴ = 3×2×2³ = 6×8
144 = 12×12 = 6×2×6×2 = 6×2×2×(6) = 6×2×2×(2×3) = 6×2³×3 = 6×8×3
Lo que tienen en común los numeros se mantiene, y lo que no es lo que se le debe multiplicar a lo común para hallar el MCM.
Y la forma mas rápida de hacer esto, (la forma resumida de todo este proceso), es usando la Descomposición Simultanea.
18 -- 48 ║les sacamos mitad (2), también se puede decir factorizar un "2".
9 -- 24 ║ya no tienen mitad (factor "2"), le sacamos lo que si tienen, "3"
3 -- 8 ║ahora que no hay nada en común, se dividen entre lo que se puede.
3 -- 8 ║entre 3
1 -- 8 ║entre 8
1 -- 1 ║y cuando solo queda "1", multiplica todo lo que le has quitado.