Question

Un terreno rectangular va a ser cercado. El material que se necesita para dos de sus lados paralelos cuesta $12 por metro lineal y los otros dos lados paralelos se cercarán con un material que cuesta $20 por metro lineal. Encontrar las dimensiones del terreno de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $1800.



Se requiere construir un envase cilíndrico, de base circular con tapa y de 80 cm3 de volumen. Calcula las dimensiones que debe tener para que la cantidad de aluminio sea mínima.

Answer 1

El terreno de mayor área posible que con los costos por metro propuestos se puede cercar con una inversión de $1800 mide 37,5m (a $12 por metro) por 22,5 metros (a $20 por metro).

Las dimensiones del envase cilíndrico con tapa de 80 centímetros cúbicos que minimizan la cantidad de aluminio a utilizar son 1,85 centímetros de radio por 7,41 centímetros de altura.

Explicación:

Para el terreno rectangular el perímetro es:

$p=2b+2h$

Si el costo por metro de dos de sus lados paralelos es $12 y el costo por metro para los otros dos lados paralelos es $20, la función costo es:

$C=2.12a+2.20b=24a+40b$

Como la inversión es de $1800 tengo que el costo total es:

$1800=24a+40b$

Ahora hay que maximizar la función área la cual se puede escribir como:

$A=ab\\\\b=\frac{1800-24a}{40}\\\\A=\frac{a(1800-24a)}{40}$

Para que una función tenga un máximo en un punto x0 debe cumplirse que:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)<0$

Por lo que hallamos las derivadas de la función área:

$A=\frac{a(1800-24a)}{40}=\frac{1800a-24a^2}{40}\\\\A'=\frac{1800-48a}{40}\\\\A''=\frac{-48}{40}$

Con lo que el extremo que hallemos será un máximo, ahora igualamos la derivada primera a cero:

$\frac{1800-48a}{40}=0\\1800-48a=0\\a=\frac{1800}{48}=37,5m$

Y el lado B queda:

$b=\frac{1800-24.37,5}{40}=22,5m$

En el caso del envase cilíndrico de base circular con tapa, el volumen es:

$V=\pi r^2h$

Y la cantidad de aluminio a utilizar está dada por el área superficial:

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

Si despejamos h de la expresión de volumen queda:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

La función área queda:

$A=2\pi r^2+2\pi r \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+2 \frac{V}{ r}$

Para que la función área tenga un mínimo en un punto r0 debe cumplirse que:

$A'(r_0)=0\\A''(r_0)>0$

Hallamos las derivadas de la función área:

$A=2\pi r^2+2 \frac{V}{ r}\\\\A'=4\pi r-\frac{V}{r^2}\\\\A''=4\pi+\frac{2V}{r^3}$

La derivada segunda será siempre positiva, por lo que el extremo que hallemos será un mínimo, hacemos:

$4\pi r-\frac{V}{r^2}=0\\\\4\pi r^3=V\\\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}}= \sqrt[3]{\frac{80cm^3}{4\pi}}\\\\r=1,85cm$

Y la altura la despejamos de la ecuación del volumen:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{80cm^3}{\pi (1,85cm)^2}=7,41cm$