Un cuerpo de masa 2kg inicialmente en reposo parte deslizando sin roce desde el punto más alto de una esfera de radio 6m.
a) Determinar el punto en que abandona la superficie esférica.
b) Calcular la energía cinética con que llegará al piso.
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
a)
Cuando el cuerpo está descendiendo, las fuerzas que actúan sobre él en el eje perpendicular, que es el que nos interesa, son dos: la componente perpendicular del peso, m·g·cos a, y la reacción normal, N, que ejerce la superficie sobre el cuerpo.
La resultante de estas dos fuerzas, mientras el cuerpo está en contacto con la superficie, está dirigida hacia el centro de la esfera y es igual al producto de la masa por la aceleración, que, en este caso, por describir el cuerpo una circunferencia, es una aceleración centrípeta, de valor v^2/R.
Tomando el sentido positivo hacia el centro de la esfera,
m · g · cos a – N = mv^2 / R
Al principio, en la parte superior, a = 0 y cos a = 1, y v = 0, con lo que
m · g · cos 0 – N = 0
m · g = N
como ocurre siempre que un cuerpo está apoyado sobre una superficie horizontal.
Ahora bien, mientras el cuerpo desciende desde el punto más alto, la velocidad y por tanto, la aceleración centrípeta, va en aumento, mientras que la componente del peso perpendicular a la superficie va disminuyendo, puesto que el ángulo a va aumentando, con lo que el coseno irá disminuyendo.
m · g · cos a – N = m · v^2 / R
Llegará un momento en el que al aumentar m · v^2 / R se haga igual a m · g · cos a, que va disminuyendo, con lo que N = 0, y esta es la condición que se cumple cuando el cuerpo se despega de la superficie, porque N no puede actuar hacia el centro (es la fuerza que hace la superficie sobre el cuerpo y está dirigida hacia afuera de la esfera
m · g · cos a = m · v^2 / R [1]
Tomando como origen de energías potenciales el nivel del centro de la esfera, en el punto superior la energía mecánica será la potencial m · g · R más la cinética, que en ese punto vale 0. En cualquier otro punto vale
(½) · m · v^2 + m · g · z = (½) · m · v^2 + m · g · R · cos a
siendo z la altura sobre el origen.
El principio de conservación de la energía mecánica exige que
0 + m · g · R = (½) · m · v^2 + m · g · R · cos a [2]
Dividiendo por m la ecuación [1] y dividiendo por m y multiplicando por 2 la ecuación [2],
tendremos
g · cos a = v^2 / R
2 · g · R = v^2 + 2 · g · R · cos a [3]
Despejando v^2 en ambas e igualando
g · R · cos a = 2 · g · R – 2 · g · R · cos a
Dividiendo por g · r y agrupando términos con cos a
cos a + 2 · cos a = 2
3 · cos a = 2
cos a = 2/3
a = 48,2º
b)
Conociendo el ángulo a, podemos determinar v en el momento en que se despega mediante la ecuación [3]. A partir de este instante, caerá al suelo con un movimiento parabólico.
v = (2 · g · R – 2 · g · R · cos a)^(1/2)
v = [2 · 9,8 · 6 – 2 · 9,8 · 6 · (2/3)]^(1/2) = 39,2 m/s
Las componentes de v son
vx = v · cos a = 39,2 · 2/3 = 26,13 m/s (que permanecerá constante)
vy = v · sen a = 39,2 · 0,745 = 29,20 m/s (que es la v inicial de la caída libre)
Altura desde la que cae libremente = R + z = R + R · cos a = 6 + 6 · 2 / 3 = 10 m
El tiempo de caída desde que queda libre, sin contacto con la esfera, lo calculamos sabiendo la altura desde la que cae, R + z
R + z = = v0y · t + (½) · g · t2
en la que se ha tomado el sentido positivo hacia abajo, ya que la velocidad inicial de este movimiento de caída está dirigida hacia abajo y también g.
6 + 6 · cos a = 29,20 ·t + (½) · 9,8 · t^2
4,9 t^2 + 29,20 ·t – 10 = 0
t = 0,327 s
Durante estos 0,327 s cae y llega al suelo y además avanza con movimiento uniforme una distancia
x = vx · t = 26,13 m/s · 0,327 s = 8,54 m
La velocidad al llegar al suelo viene dada por
v^2 = vx^2 + vy^2 = vx^2 + (v0y + g·t)^2
v = [26,13^2 + (29,20 + 9,8 · 0,327)^2]^(1/2) = 41,6 m/s
La energía cinética al llegar al suelo es
Ec = (1/2) · 2 · 41,6^2 = 1730,6 J
(No he podido revisarlo, así que vete comprobando por si hay algún error)
