Question

ayuda, es un problema de trigonometria​

Answer 1

En este rectángulo los ángulos α, β y θ son iguales y valen 21,8°.

Explicación paso a paso:

Sobre el rectángulo de la figura sabemos que sus lados miden 2 y 5 unidades y que:

$tg(\alpha+\beta)=tg(2\theta)$

Los ángulos α y β se pueden obtener fácilmente recordando la relación entre catetos de un triángulo rectángulo que representa la tangente:

$tg(\alpha)=\frac{c_{op}}{c_{ad}}=\frac{CD}{CB}$

Despejando el ángulo α queda:

$\alpha=arctg(\frac{CD}{BC})=arctg(\frac{2}{5})\\\\\alpha=21,8\°$

Como el triángulo rectángulo CBD y el triángulo rectángulo ABC son semejantes y congruentes queda:

$\alpha=\beta=21,8\°$

Ahora bien, si llamamos P al centro del rectángulo donde se cruzan las dos diagonales, por un lado en el triángulo CBP la suma de todos los ángulos internos es 180°. Y por el otro, la suma de todos los ángulos que forman entre sí las diagonales en P es 360°, queda:

$\alpha+\beta+BPC=180\°\\BPC+APB+CPD+APD=360\°$

Podemos establecer los siguientes pares de ángulos opuestos por el vértice, y por ende congruentes:

$BPC=APD=180\°-\alpha-\beta\\CPD=APB=2\theta\\\\2APD+2CPD=360\°\\\\APD+CPD=180\°\\\\180\°-\alpha-\beta+2\theta=180\°\\\\2\theta=\beta+\alpha$

Y como es α = β queda:

$\theta=\alpha=\beta=21,8\°$