PROBLEMA:
Un campesino de la región sierra del Ecuador es muy estudioso de las
matemáticas, quiere saber cuántos centímetros debe cavar en la tierra para
sembrar sus semillas, su vecino quien es también muy aficionado a la
matemática le propone resolver el problema con un enigma: “para saber el
número de centímetros que debes cavar, necesitas encontrar un número tal
que, al multiplicar su cuadrado por el número que le falta para llegar a 16,
su producto sea el mayor posible”
EL PROBLEMA CONSISTE EN ENCONTRAR EL VALOR DE UN NÚMERO
POSITIVO DE TAL MANERA QUE LA EXPRESIÓN: () =
( −
)
ALCANCE SU MÁXIMO VALOR, Y DETERMINAR ESTE VALOR.
Respuestas
Hola!
Primero que todo, vamos a pasar a una ecuación el enigma del campesino:
"Necesitas encontrar un número tal que, al multiplicar su cuadrado por el número que le falta para llegar a 16, su producto sea el mayor posible”
x= el numero
El cuadrado del número es x², y el número que le falta para llegar a 16 es (16-x) así que su producto es:
x²(16-x)
16x²-x³
Recuerda que para maximizar una función debemos hallar los puntos críticos derivando e igualando a cero, así:
f(x)=16x²-x³
f(x)' = 32x-3x²
0=32x-3x²
3x²=32x
Dividimos por x a ambos lados:
3x=32
x=32/3
Ya tenemos el valor, ahora debemos despejar en la fórmula:
f(x)=16x²-x³
f(32/3)=16*(32/3)²-(32/3)³
f(32/3)=606.81
REspuesta: El valor que maximiza la ecuación es 32/3, y el valor máximo es 606.81
Espero te sirva. Saludos!