Question

2 kx +(k+1)y=2
(k+2)x+k+2=-(2k+1)y​

Answer 1

El sistema no tiene soluciones para k = 1 y para k = -2/3

Para poder ver esto, debemos observar que el sistema tiene solución siempre que su determinante no sea cero. La matriz a evaluar es la siguiente

$\left[\begin{array}{ccc}2k&k+1\\k+2&2k+1\end{array}\right]$

Su determinante entonces sería

$\left|\begin{array}{ccc}2k&k+1\\k+2&2k+1\end{array}\right| = 2k(2k+1) - (k+1)(k+2) = 4k^2 + 2k - (k^2 + 3k + 2) = (4-1)k^2 + (2 - 3)k - 2 = 3k^2 - k - 2$

Utilizando la resolvente, tenemos

$3k^2 - k - 2 = 0 \implies k = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4\times3\times(-2)}}{2\times3} = \frac{1 +\pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}; k_1 = \frac{6}{6} = 1, k_2 = \frac{-4}{6} = - 2/3$

Por lo que para estos valores de k las rectas son paralelas y por consecuencia el sistema no tiene solución