Question

9. Tres cargas puntuales están situadas en un arco circular como
se muestra en la figura P1.19. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico
total en P, en el centro del arco? (b) Hallar la fuerza eléctrica
que se ejerce sobre una carga puntual -5.00 nC situada en P.​

Answer 1

Esta configuración de  cargas puntuales produce en el punto P un campo eléctrico de 18 kN/C en dirección horizontal hacia la derecha de la imagen, y si colocamos una carga puntual de -5nC en P, el campo eléctrico va a tirar de ella con una fuerza de 89,9μN en dirección horizontal hacia el arco circular.

Explicación:

Para hallar el campo eléctrico total en el punto P se aplica a cada una de las cargas la Ley de Coulomb, teniendo en cuenta que la carga negativa genera un vector campo eléctrico hacia ella paralelo a la horizontal, mientras que las dos cargas negativas generan sendos vectores desde cada carga inclinados 30° respecto a la horizontal como en la figura adjunta. Y además las 3 cargas equidistan de P.

a) Tenemos:

$E1=k\frac{q_1}{d^2}\\\\E2=k\frac{q_2}{d^2}\\\\E3=k\frac{q_3}{d^2}$

Sumando los vectores a través de la suma de sus componentes tenemos:

$E_x=k\frac{q_1}{d^2}cos(-30\°)+k\frac{q_2}{d^2}+k\frac{q_3}{d^2}cos(30\°)\\\\q_1=q_3=>E_x=2k\frac{q_1}{d^2}cos(30\°)+k\frac{q_2}{d^2}\\\\E_y=k\frac{q_1}{d^2}sen(-30\°)+k\frac{q_3}{d^2}sen(30\°)\\q_1=q_3=>E_y=0$

Reemplazando valores tenemos:

$q_1=3x10^{-9}C\\q_2=-2x10^{-9}C\\d=0,04m\\\\E_x=2.9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\frac{3x10^{-9}C}{(0,04m)^2}cos(30\°)+9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\frac{(-2x10^{-9}C)}{(0,04m)^2}\\\\E_x=17978\frac{N}{C}=18\frac{kN}{C}$

Siendo su sentido paralelo a la horizontal hacia la derecha de la imagen.

b) Con el dato de campo eléctrico, podemos hallar la fuerza sobre una carga de -5nC en el punto P de esta forma:

$F=qE=-5x10^{-9}C.17978\frac{N}{C}=-8,99x10^{-5}N=-89,9\mu N$

Con lo cual el campo eléctrico resultante va a tirar de la carga hacia la izquierda de la imagen en la dirección paralela a la horizontal, como es lógico, será atraída hacia la región predominantemente positiva.

Answer 2

El campo eléctrico total en el punto P, que se encuentra ubicado en el centro del arco, es 17978,3574 ( i ) (N/C).

Cálculo del campo eléctrico considerando la carga q₁:

$\vec E_1 = \frac{1}{4*\pi*\epsilon_0} *\frac{q_1}{r^2} \vec {r}$

$\vec E_1 = 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(cos30^ \circ i-sin30^\circ j)$

Cálculo del campo eléctrico considerando la carga q2:

$\vec E_2 = \frac{1}{4*\pi*\epsilon_0} *\frac{q_2}{r^2} \vec {r}$

$\vec E_2 = 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(cos30^ \circ i+sin30^\circ j)$

Cálculo del campo eléctrico considerando la carga q3:

$\vec E_3 = \frac{1}{4*\pi*\epsilon_0} *\frac{q_3}{r^2} \vec {r}$

$\vec E_3 = 9x10^ {9} *\frac{2x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(- i)$

Cálculo del campo eléctrico total en el punto P:

$\vec E_p=\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3$

$\vec E_p = 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(cos30^ \circ i-sin30^\circ j)+ 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(cos30^ \circ i+sin30^\circ j)+ 9x10^ {9} *\frac{2x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*(- i)$

$\vec E_p = 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*cos30^ \circ i+ 9x10^ {9} *\frac{3x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}*cos30^ \circ i- 9x10^ {9} *\frac{2x10^{-9}}{(4x10^{-2})^2}* i$

$\vec E_p = 14614,1787 i+ 14614,1787 i- 11250 i$

$\vec E_p = 17978,3574 \, i \, (N/C)$

La fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga puntual de - 5 nC en el punto P es de 89,892 μN ( - i )

Cálculo de la Fuerza Eléctrica sobre una Carga Puntual conocido el Campo Eléctrico:

$\vec F_p=q*\vec E_p$

Sabiendo que el campo eléctrico en el punto P es:

$\vec E_p = 17978,3574 \, N/C$

Entonces:

$\vec F_p=(-5x10^{-9})*(17978,3574 \, i)$

$\vec F_p=89,892x10^{-6} \, (-i) \, N$

$\vec F_p=89,892 \, (-i) \, \mu N$

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