Question

Hallar k∈ℝ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea: a) compatible indeterminado b) incompatible c) compatible determinado { 2 kx+(k+1) y=2 (k+2) x+k+2=−(2k+1) y

Answer 1

El sistema de ecuaciones planteado es incompatible con k=1 ó k=-2/3 y compatible determinado para todos los demás valores reales de k.

Explicación paso a paso:

En un sistema de ecuaciones como el que sigue:

$2kx+(k+1)y=2\\(k+2)x+k+2=-(2k+1)y\\\\2kx+(k+1)y=2\\(k+2)x+(2k+1)y=-k-2$

De acuerdo con la regla de Cramer, para que el sistema sea compatible determinado, la matriz de coeficientes debe ser linealmente independiente, es decir, su determinante ser distinto de cero, tenemos:

$det\left[\begin{array}{cc}2k&k+1\\k+2&2k+1\end{array}\right] \neq 0$

De modo que los valores que hacen compatible indeterminado o incompatible al sistema son los que siguen esta ecuación:

$det\left[\begin{array}{cc}2k&k+1\\k+2&2k+1\end{array}\right]=2k(2k+1)-(k+2)(k+1)=0\\\\4k^2+2k-k^2-3k-2=0\\\\3k^2-k-2=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática y queda:

$k=\frac{1\ñ\sqrt{1^2-4.3.(-2)}}{2.3}=\frac{1\ñ5}{6}\\\\k=1\\k=-\frac{2}{3}$

Estos valores son lo que hacen compatible indeterminado o incompatible al sistema, para todos los demás valores de k reales, el sistema es compatible determinado. Para que el sistema sea compatible indeterminado, tanto la matriz de coeficientes como la matriz ampliada tienen que ser linealmente dependientes. Para k=1 tenemos la siguiente matriz ampliada:

$\left[\begin{array}{cc|c}2k&k+1&2\\k+2&2k+1&-k-2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc|c}2&2&2\\3&3&-3\end{array}\right]$

La matriz de coeficientes es linealmente dependiente más no la matriz ampliada por ende con k=1 el sistema es incompatible.

Ahora con k=-2/3:

$\left[\begin{array}{cc|c}2k&k+1&2\\k+2&2k+1&-k-2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc|c}-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}&2\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{8}{3}\end{array}\right]$

Lo mismo ocurre con este valor de k, por ende con k=-2/3 el sistema es incompatible.