Question

se dispone de un alambre de longitud L para hacer un circulo y un cuadrado . como ha de cortarse el alambre en sus formas para que la suma,a de las áreas correspondidas sea maxima

Answer 1

Veamos.

Sea x el perímetro del círculo de radio r e y el perímetro del cuadrado de lado a

Por un lado tenemos: área del círculo:

A1 = π r²; x = 2 π r; luego r = x / (2 π); A1 = π [x² / (4 π²)] = x² / (4 π)

El perímetro del cuadrado es y = 4 a; El área es A2 = a² = y² / 16

Por otro lado es x + y = L; de modo que y = L - x

Sumamos las áreas. A = x² / (4 π) + y² / 16; reemplazamos y

A = x² / (4 π) + (L - x)² / 16

La función pasa por un punto crítico cuando su primera derivada es nula:

Derivamos A  respecto de x:

A' = x / (2 π) + 2 [(L - x) (-1)] / 16 = [x (π + 1) - π L] / (8 π) 

Si la función pasa por un máximo, su segunda derivada debe ser negativa.

Derivamos por segunda vez: A'' = (π + 4) / (8 π)

Es una constante positiva. Por lo tanto NO HAY VALOR MÁXIMO, estas condiciones

Estando la función acotada, el valor máximo se encuentra en uno de los extremos del su dominio.

Por lo tanto el alambre no debe cortarse. Se construye solamente el cuadrado o solamente el círculo.

Para un perímetro dado, el círculo es la figura de mayor área

Veamos. Construímos solamente el cuadrado.

Perímetro = L: lado = a = L/4; área = L² / 16

Construimos solamente el círculo:

Perímetro = L; radio = L/(2π); área = π [L/(2π]² = L² /(4 π)

4 π = 12,57, menor que 16

Por lo tanto el área del círculo es mayor que la del cuadrado.

Saludos Herminio