Question

Se va a fabricar un bote cilíndrico sin tapa de 4 litros de capacidad, a base de lámina de aluminio unida con soldadura autógena. Dimensionar el bote de modo que el cordón de soldadura necesario sea la menor longitud posible

Answer 1

Para que en el bote de 4 litros el cordón de soldadura sea de la menor longitud posible, el bote tiene que tener 7,4 centímetros de radio por 23,3 centímetros de altura.

Explicación:

En el bote cilíndrico los cordones de soldadura son el que une el fondo del bote con la cara lateral, y el que cierra la cara lateral como muestra la imagen adjunta, de modo que su longitud será, siendo r el radio y h la altura:

$l=h+2\pi r$

Y el volumen del bote es:

$V=\pi r^2h$

De donde despejamos la altura:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Y la longitud de la soldadura queda:

$l=\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r=\frac{V+2\pi^2 r^3}{\pi r^2}$

Para que el cordón de soldadura tenga la menor longitud posible, hay que hallar el mínimo de la función que acabamos de encontrar, es decir, hallar la derivada e igualarla a cero:

$l'=\frac{1}{\pi}\frac{6\pi^2r^2 r^2-2(V+2\pi^2 r^3)r}{r^4}=\frac{1}{\pi}\frac{6\pi^2r^4-2Vr-4\pi^2r^4}{r^4}\\\\l'=\frac{2\pi^2r^4-2Vr}{\pi r^4}$

Para anular la derivada alcanza con anular el numerador:

$2\pi^2r^4-2Vr=0\\\\2\pi^2r^3=2V\\\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi^2}}\\ \\4l=0,004m^3=>r=\sqrt[3]{\frac{0,004}{\pi^2}}=0,074m$

Y la altura la despejo del volumen:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{0,004}{\pi(0,074)^2}=0,233m$