Question

Encuentre una ecuación cúbica y=ax^3+bx^2+cx+d cuya gráfica tiene rectas tangentes horizontales en los puntos (-2,6) y (2,0).

Answer 1

La función cúbica que en x=-2 y x=2 tiene rectas horizontales es $y=\frac{3}{16}x^3-\frac{9}{4}x+3$

Explicación paso a paso:

En toda función, las rectas tangentes a la gráfica en un determinado punto de esta tienen una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto.

De modo que para tener rectas tangentes horizontales (es decir de pendiente 0) en (-2,6) y en (2,0), debe cumplirse que:

$f(-2)=6\\f(2)=0\\\\f'(-2)=f'(2)=0$

Podemos reemplazar x=2 y x=-2 en la función y queda:

$a.(-2)^3+b(-2)^2+c(-2)+d=6\\a.(2)^3+b(2)^2+c(2)+d=0\\\\-8a+4b-2c+d=6\\8a+4b+2c+d=0$

Se puede hacer lo propio en la derivada de la función:

$f'(x)=3ax^2+2bx+c\\\\3a(-2)^2+2b(-2)+c=0\\3a(2)^2+2b(2)+c=0\\\\12a-4b+c=0\\12a+4b+c=0$

Si sumamos la primera con la segunda ecuación y restamos la tercera y la cuarta queda:

$-8a+4b-2c+d=6\\8a+4b+2c+d=0\\----------\\8b+2d=6\\\\12a-4b+c=0\\12a+4b+c=0\\--------\\-8b=0\\\\8b+2d=6\\-8b=0\\b=0; d=3$

Ahora restamos la primera con la segunda y sumamos la tercera con la cuarta:

$-8a+4b-2c+d=6\\8a+4b+2c+d=0\\----------\\-16a-4c=6\\\\12a-4b+c=0\\12a+4b+c=0\\--------\\24a+2c=0\\\\-16a-4c=6\\24a+2c=0\\a=\frac{3}{16}; c=-\frac{9}{4}$

Con lo cual la función queda:

$f(x)=\frac{3}{16}x^3-\frac{3}{2}x+3$

En la imagen adjunta se observa la gráfica de la función con sus dos rectas tangentes horizontales que, en efecto, son y=6 e y=0.