Ayuden con estos ejercicios de la segunda derivada aplicando los puntos máximos y mininos: ayuda por favor es para lunes
por favor los necesitos
y=x^2-9x^2
y=x^3-4x
y=x^3-3x^2
y=(8-x) x^(1/3)
y=x^3 (x-3)^3
Respuestas
a) y=x²-9x² = -8x²
Debido a que la segunda derivada es siempre negativa, x = 0 es un punto máximo
b) y=x³-4x
Se tiene un máximo en el punto x = -√4/3 en el que la segunda derivada es negativa y un mínimo en x =√4/3 que la segunda derivada es positiva.
c) y=x³-3x²
Se tiene un máximo en el punto x = 0 en el que la segunda derivada es negativa y un mínimo en x = 2 que la segunda derivada es positiva.
d) y=(8-x)*x^1/3 = 8*x^1/3 - x^4/3
Se tiene un máximo en el punto en x = -2 donde la segunda derivada es negativa y un mínimo en x = 2 donde la segunda derivada es positiva.
e) y=x³*(x-3)³
Se tiene un máximo en x = 3/4 ya que la segunda derivada es negativa.
Explicación paso a paso:
El criterio de la segunda nos dice que evaluando los puntos críticos en la segunda derivada, los valores positivos nos generan un mínimo, y los negativos un máximo.
a) y=x²-9x² = -8x²
Se calcula la primera derivada
y´ = -2*8x = -16x
Se iguala cero la primera derivada
0 = -16*x
x = 0
Se calcula la segunda derivada
y´´ = -16
Debido a que la segunda derivada es siempre negativa, x = 0 es un punto máximo
b) y=x³-4x
Se calcula la primera derivada
y´ = 3x²-4
Se iguala cero la primera derivada
0 = 3x²-4
3x² = 4
x = ±√4/3
Se calcula la segunda derivada
y´´ = 2*3x = 6x
Se evalúa la segunda derivada en los puntos críticos
y´´(+√4/3) = 6x = 6*√4/3 = 4√3
y´´(-√4/3) = 6x = 6*√4/3 = -4√3
Se tiene un máximo en el punto x = -√4/3 donde la segunda derivada es negativa y un mínimo en x =√4/3 donde la segunda derivada es positiva.
c) y=x³-3x²
Se calcula la primera derivada
y´ = 3x²-2*3x = 3x²- 6x
Se iguala cero la primera derivada
0 = 3x²- 6x
3x(x-2) = 0
Se tiene x = 0 y x = 2 como puntos críticos
Se calcula la segunda derivada
y´´ = 2*3x - 6 = 6x -6
Se evalúa la segunda derivada en los puntos críticos
y´´(0) = 6*(0) - 6 = -6
y´´(2) = 6*2- 6 = 6
Se tiene un máximo en el punto x = 0 donde la segunda derivada es negativa y un mínimo en x = 2 donde la segunda derivada es positiva.
d) y=(8-x)*x^1/3 = 8*x^1/3 - x^4/3
Se calcula la primera derivada
y´ = 1/3*8x^-2/3 - 4/3*x^1/3
Se iguala cero la primera derivada
0 = 1/3*8x^-2/3 - 4/3*x^1/3
0 = 2/3(4x^-2/3 - 2x^1/3)
2x^1/3 = 4x^-2/3
Se elevan ambos lados al cubo
2x^1/3 = 4x^-2/3
8x = 64*x^-2
8x*x^2 = 64
8x^3 = 64
x^3 = 64/8 = 8
x = ∛8 = ±2
Se tiene x = 2 y x = -2 como puntos críticos
Se calcula la segunda derivada
y´ = 1/3*8x^-2/3 - 4/3*x^1/3
y´´ = -2/3*1/3*8x^-5/3 - 1/3*4/3*x^-2/3 = 16/9x^-5/3 -4/9x^-2/3
y´´ = 16/9x^-5/3 -4/9x^-2/3
Se evalúa la segunda derivada en los puntos críticos
y´´(-2)= 16/9*(-2)^-5/3 -4/9*(-2)^-2/3 = -0,84
y´´(2)= 16/9*(2)^-5/3 -4/9*(2)^-2/3 = 0,28
Se tiene un máximo en el punto en x = -2 donde la segunda derivada es negativa y un mínimo en x = 2 donde la segunda derivada es positiva.
e) y=x³*(x-3)³
Se calcula la primera derivada
y´ = 3x²(x-3)³+x³*3(x-3)²
Se iguala cero la primera derivada
0 = 3x²(x-3)³+x³*3(x-3)²
0 = 3x²(x-3)²((x-3)+3x)
0 = x-3+3x = 4x-3
x = 3/4
Se tiene x = 3/4 como punto crítico
Se calcula la segunda derivada
y´ = 3x²(x-3)³+x³*3*(x-3)²
y´´ = 2*3x*(x-3)³+2*3x²(x-3)² + 3*x²*3*(x-3)² + 2*x³*3*(x-3)
y´´ = 6x*(x-3)³+6x²(x-3)² + 9*x²*(x-3)² + 6*x³*(x-3)
y´´ = 6x*(x-3)³+ 15x²(x-3)² + 6*x³*(x-3)
Se evalúa la segunda derivada en el punto crítico
y´´(3/4) = 6*(3/4)*((3/4)-3)³+ 15*(3/4)²((3/4)-3)² + 6*(3/4)³*((3/4)-3)
y´´(3/4) = -14,24
Se tiene un máximo en x = 3/4 ya que la segunda derivada es negativa.