Question

10. Determina la ecuación de la recta tangen-
te y la recta normal a la gráfica de la fun-
ción f: x f(x)= x² + 2 en el punto (1,
3). Realiza la representación gráfica de la
función y de las rectas: tangente y normal. xfavor ayudenme con esto :3​

Answer 1

Respuesta:

representación de la función, el punto dado, la recta tangente y la recta normal en la imagen adjunta.

Explicación paso a paso:

Para determinar la recta tangente en un punto de una función, es necesario aplicar derivada:

sea la función:

$f(x)=x^2+2$

entonces su derivada será:

$f'(x)=2*x^{2-1}$

$f'(x)=2x$

Ahora, evaluaremos la función en el unto x=1 y el valor que nos de f'(x) sera el valor de la pendiente de la recta tangente:

$f'(x)=2x$

$f'(1)=2(1)$

$f'(1)=2$

la pendiente de la recta tangente sera m=2

como la recta debe tener la forma:

$y=mx+b$

reemplazamos:

$y=2x+b$

para calcular el valor de b, reemplazamos los valores de x y y del punto dado, es decir, el punto (1,3):

$y=2x+b$

$3=2(1)+b$

$3=2+b$

$3-2=b$

$b=1$

La ecuacion queda finalmente:

$y=2x+1$

Finalmente debemos trazar la recta normal para el punto (1,3):

Para la recta normal se debe cumplir que:

$m_2=-\frac{1}{m_1}$

como $m_1=2$, reemplazamos:

$m_2=-\frac{1}{2}$

Por tanto la recta normal sera asi:

$y=m_2x+b$

reemplazando:

$y=-\frac{1}{2}x+b$

calculando el valor de b para el punto 1,3 se tiene:

$3=-\frac{1}{2}1+b$

$3=-\frac{1}{2}+b$

$3+\frac{1}{2}=b$

$b=3+\frac{1}{2}$

$b=3*2/2+\frac{1}{2}$

$b=\frac{7}{2}$

por tanto la recta normal será:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$