Question

la gráfica de la ecuación :

$x { }^{3} + y {}^{3} = 3xy$

conocida como la hoja de descartes.
1.- Encuentre una ecuación para la recta tangente en un punto del primer cuadrante en donde la curva corta con la gráfica x=y


2.-Encuentre el punto en el primer cuadrante donde la recta tangente es horizontal​

Answer 1

1. Punto donde y = x corta a la gráfica:

x³ + x³ = 3 x²; exceptuando x = 0

2 x = 3; x = 3/2; y = 3/2

La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.

Derivamos bajo la forma implícita: (el segundo miembro es un producto)

3 x² + 3 y² . y' = 3 y + 3 x . y'

y' (3 y² - 3 x) = 3 y - 3 x²; podemos cancelar el 3

y' = (y - x²) / (y² - x); reemplazamos x = y = 3/2

m = (3/2 - 9/4) / (9/4 - 3/2) = - 1

La recta tangente es:

y - 3/2 = - (x - 3/2) = - x + 3/2

y = - x + 3

2. La recta tangente es horizontal si y' = m = 0

Es decir: y - x² = 0; o bien y = x²

Reemplazamos en la ecuación.

x³ + (x²)³ = 3 x (x²) = 3 x³; descartamos x = 0

1 + x³ = 3; x = ∛2 ≅ 1,26

Luego y = 1,26² ≅ 1,59

El punto de tangente horizontal es (1,26; 1,59)

y = 1,59 es la recta tangente horizontal

Se adjunta dibujo con las rectas tangentes.

Mateo