Question

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima?

Answer 1

La superficie total del cilindro es la superficie lateral más dos veces cada base.

S = 2 π r h + 2 π r²

El volumen del cilindro es V = π r² h = 100

Luego h = 100 / (π r²), que reemplazamos en S

S = 2 π r . 100 / (π r²) + 2 π r²

S = 200 / r + 2 π r²

Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en esos puntos.

S' = - 200 / r² + 4 π r

S'' = 400 / r³+ 4 π; siendo r > 0, S'' > 0, hay mínimo en S' = 0

- 200 / r² + 4 π r = 0

Es r = ∛(50/π) ≅ 2,52 cm

h = 100 / (π . 2,52²) ≅ 5,03 cm

La superficie mínima es S = 200 / 2,52 + 2 π 2,52² ≅ 119 cm²

Verificamos el volumen: V = π . 2,52² . 5,03 = 100 cm³

Se adjunta gráfico de S con su punto crítico.

Mateo