PROBLEMA No. 4: La figura muestra un vehículo de masa 8,000 kg; se sostiene mediante una cuerda de masa pequeña comparada con la masa del vehículo, la cuerda pasa por una polea de masa 900 kg y de radio 2.50 m, la cual se puede considerar como un disco sólido. La cuerda está enrollada a un tambor cilíndrico sólido de frenado, de masa 4,000 kg y de radio 3.50 m; si se libera el tambor desde el reposo, determine:
a) La magnitud de la velocidad con la cual el vehículo golpea el agua, usando conservación de la energía. R// 8.662 m/s
b) La magnitud de la aceleración angular de la polea mientras el auto cae. R// 3.00 rad/s2
Respuestas
La magnitud de la velocidad con la cual el vehículo golpea el agua es igual a : Vf = 8.66 m/s
La magnitud de la aceleración angular de la polea mientras el auto cae es igual a: α = 3.0 rad/s²
En este caso vamos a aplicar el principio de la conservación de la energía mecánica para el sistema Tambor-Polea-Vehiculo.
En el estado inicial todos las masas están en reposo, solo tienen energía potencial gravitatoria ("Epv": vehiculo, "Ept": tambor, "Epp": polea) y en el estado final (Justo antes que el vehículo toque el agua), el tambor y la polea están rotando ("Ect", "Ecp") pero se mantienen a la misma altura (NO varia su energía potencial) y el vehículo se desplaza a con cierta velocidad "Vf" variable y ha bajado a el nivel de cero potencial gravitatorio.
En el estado final, tanto el tambor como la polea, tienen en su capa mas externa la misma velocidad tangencial que la velocidad vertical del vehículo, entonces:
- Vf = ωp * rp
- Vf = ωp * 2.5m
- ωp = Vf / 2.5m
- Vf =ωt * rt
- Vf = ωt * 3.5m
- ωt = Vf / 3.5m
Entonces:
- Emi = Emf
- Eci + Epi = Ecf + Epf
- 0 + Epv + Ept + Epp = (Ecfv + Ecft + Ecfp) + (Ept + Epp)
- m * h * g = (1/2) * m *Vf² + (1/2) * It * ωt² + (1/2) * Ip * ωp²
- 8000Kg*5m*9.8m/s²=0.5*8000Kg*Vf²+0.5*It*(Vf / 3.5m)²+0.5* Ip*(Vf/2.5m)²
- 3.92*10⁵J = (4000Kg + (1/2)*mt*rt²/24.5m² + (1/2)*mp*rp²/12.5m²) * Vf²
- 3.92*10⁵J =(4000Kg + 4000Kg*(3.5m)²/49m² + 900Kg*(2.5m)²/25m²) * Vf²
- 3.92*10⁵J =(4000Kg + 1000Kg + 225Kg) * Vf²
- Vf² = 75m²/s²
- Vf = 8.66 m/s
Vamos a calcular la aceleración del automóvil mientras cae al agua con la siguiente ecuación de MRUV:
- Vf² = Vo² + 2 * a *d
- (8.66m/s)² = 0 + 2 * a * 5m
- a = 75m²/s² / 10m
- a = 7.5m/s²
Este valor de la aceleración con el que cae el carro es también la aceleración tangencial "at" de la polea, y por lo tanto nos sirve para calcular la aceleración angular por definición:
- at = α * r
- 7.5m/s² = α * 2.5m
- α = 3.0 rad/s²