Determina la ecuación de la cuerda focal de la parábola x²-4x-4y+6=0 que es paralela a la recta x-2y-2=0
Respuestas
La ecuación de la cuerda focal es: 2y -x - 1 = 0
Explicación paso a paso:
La cuerda focal es una recta que une las dos ramas de la parábola y pasa por el foco. Esta recta, según el enunciado, es paralela a la recta dada; es decir, la cuerda focal es una recta que pasa por el foco y tiene la misma pendiente de la recta dada.
1. Completamos cuadrados en la ecuación de la parábola para expresarla en su forma canónica:
x² - 4x - 4y + 6 = 0 ⇒ x² - 4x = 4y - 6 ⇒
(x - 2)² = 4y - 2 ⇒ (x - 2)² = 4(y - ¹/₂)
Esta es la ecuación canónica de una parábola de eje vertical, vértice (h, k) = (2, ¹/₂), sentido positivo (hacia arriba) y lado recto = 4 = 4p. La distancia p = 1 es la distancia desde el vértice hasta el foco, por lo tanto, el foco es el punto:
foco = (h, k + p) = (2, ¹/₂ + 1) = (2, ³/₂)
2. Pendiente de la recta
x - 2y - 2 = 0 ⇒ 2y = x - 2 ⇒
y = ¹/₂(x - 2) ⇒ y = ¹/₂x - 1 ⇒
Pendiente = m = ¹/₂
3. Ecuación de la recta focal usando la ecuación punto pendiente:
La ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto (a, b) es:
y - b = m(x - a)
En nuestro caso:
m = ¹/₂
(a, b) = (2, ³/₂)
Recta Focal:
y - ³/₂ = ¹/₂(x - 2) ⇒ 2y - 3 = x - 2 ⇒
2y -x - 1 = 0